$x, y$ は実数とする。以下の (1), (2), (3) について, それぞれの空欄に「必要」「十分」のうち適切な語句を入れよ。 (1) $x = -2$ は $x^2 = 4$ であるための〇〇条件である。 (2) $x > 0$ は $x > 1$ であるための〇〇条件である。 (3) $x = y$ は $(x-y)x = 0$ であるための〇〇条件である。

1. 問題の内容

$x, y$ は実数とする。以下の (1), (2), (3) について, それぞれの空欄に「必要」「十分」のうち適切な語句を入れよ。

(1) $x = -2$ は $x^2 = 4$ であるための〇〇条件である。

(2) $x > 0$ は $x > 1$ であるための〇〇条件である。

(3) $x = y$ は $(x-y)x = 0$ であるための〇〇条件である。

2. 解き方の手順

(1)

$x = -2$ ならば $x^2 = (-2)^2 = 4$ より $x^2 = 4$ は真である。

$x^2 = 4$ ならば $x = 2$ または $x = -2$ である。よって、$x = -2$ は $x^2 = 4$ であるための十分条件である。

必要条件ではない。

(2)

$x > 0$ ならば $x > 1$ とは限らない。例えば $x = 0.5$ は $x > 0$ を満たすが $x > 1$ を満たさない。

$x > 1$ ならば $x > 0$ は真である。よって、$x > 0$ は $x > 1$ であるための必要条件である。

十分条件ではない。

(3)

$x = y$ ならば $(x-y)x = (x-x)x = 0 \times x = 0$ より $(x-y)x = 0$ は真である。

$(x-y)x = 0$ ならば $x-y = 0$ または $x = 0$ である。

$x-y = 0$ ならば $x = y$ である。

$x = 0$ ならば $y$ は任意の実数であるから $x = y$ とは限らない。例えば、$x=0$，$y=1$のとき $(x-y)x = (0-1)\times 0 = 0$ となるが、$x=y$を満たさない。

よって $x = y$ は $(x-y)x = 0$ であるための十分条件である。

必要条件ではない。

3. 最終的な答え

(1) 十分

(2) 必要

(3) 十分