$a, b$ は実数である。3次方程式 $x^3 - x^2 + ax + b = 0$ が $1 - 2i$ を解にもつとき、$a, b$ の値を求めよ。また、他の解を求めよ。

1. 問題の内容

$a, b$ は実数である。3次方程式 $x^3 - x^2 + ax + b = 0$ が $1 - 2i$ を解にもつとき、$a, b$ の値を求めよ。また、他の解を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $1 - 2i$ が解であるとき、共役複素数である $1 + 2i$ も解である。なぜなら、3次方程式の係数がすべて実数だからである。

(2) 3つの解を $1 - 2i, 1 + 2i, \alpha$ とすると、解と係数の関係から以下の式が成り立つ。

* 3つの解の和: $(1 - 2i) + (1 + 2i) + \alpha = 1$

* 2つずつの解の積の和: $(1 - 2i)(1 + 2i) + (1 - 2i)\alpha + (1 + 2i)\alpha = a$

* 3つの解の積: $(1 - 2i)(1 + 2i)\alpha = -b$

(3) 1つ目の式から $\alpha$ の値を求める。

$2 + \alpha = 1$

$\alpha = -1$

(4) よって、他の解は $-1$ である。

(5) 2つ目の式に$\alpha = -1$を代入して $a$ の値を求める。

$(1 - 2i)(1 + 2i) + (1 - 2i)(-1) + (1 + 2i)(-1) = a$

$(1 + 4) + (-1 + 2i) + (-1 - 2i) = a$

$5 - 1 + 2i - 1 - 2i = a$

$3 = a$

したがって、$a = 3$。

(6) 3つ目の式に$\alpha = -1$を代入して $b$ の値を求める。

$(1 - 2i)(1 + 2i)(-1) = -b$

$(1 + 4)(-1) = -b$

$-5 = -b$

$b = 5$

したがって、$b = 5$。

3. 最終的な答え

$a = 3, b = 5$

他の解は $-1$