画像には複数の数学の問題とその解答が記述されています。今回は、**基本39-1** と書かれた問題に着目します。 問題は、漸化式 $a_{n+1} = 3a_n + 2$ を変形し、数列 $\{a_n + 1\}$ が等比数列であることを示し、一般項 $a_n + 1$ を求める、という内容です。

1. 問題の内容

画像には複数の数学の問題とその解答が記述されています。今回は、**基本39-1** と書かれた問題に着目します。

問題は、漸化式 $a_{n+1} = 3a_n + 2$ を変形し、数列 $\{a_n + 1\}$ が等比数列であることを示し、一般項 $a_n + 1$ を求める、という内容です。

2. 解き方の手順

(1) $c = 3c + 2$ を解きます。

$c - 3c = 2$

$-2c = 2$

$c = -1$

(2) 漸化式 $a_{n+1} = 3a_n + 2$ を $c = -1$ を用いて変形します。

$a_{n+1} + 1 = 3a_n + 2 + 1$

$a_{n+1} + 1 = 3a_n + 3$

$a_{n+1} + 1 = 3(a_n + 1)$

(3) 数列 $\{a_n + 1\}$ が等比数列であることを確認します。

$a_{n+1} + 1 = 3(a_n + 1)$ より、数列 $\{a_n + 1\}$ は公比が $3$ の等比数列です。

(4) 数列 $\{a_n + 1\}$ の初項を求めます。

$a_1 = 2$ であるので、$a_1 + 1 = 2 + 1 = 3$。

(5) 数列 $\{a_n + 1\}$ の一般項を求めます。

初項が $3$、公比が $3$ の等比数列なので、$a_n + 1 = 3 \cdot 3^{n-1} = 3^n$ となります。

3. 最終的な答え

$a_n + 1 = 3^n$