問題は、関数 $z = f(x, y)$ が $C^n$ 級であるとき、$x = a + ht$、$y = b + kt$ ($a, b, h, k$ は定数) とおくと、 $\frac{d^m z}{dt^m} = \left( h \frac{\partial}{\partial x} + k \frac{\partial}{\partial y} \right)^m z$ が $0 \le m \le n$ であるすべての $m$ について成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ、というものです。

1. 問題の内容

問題は、関数 $z = f(x, y)$ が $C^n$ 級であるとき、$x = a + ht$、$y = b + kt$ ($a, b, h, k$ は定数) とおくと、

$\frac{d^m z}{dt^m} = \left( h \frac{\partial}{\partial x} + k \frac{\partial}{\partial y} \right)^m z$

が $0 \le m \le n$ であるすべての $m$ について成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ、というものです。

2. 解き方の手順

数学的帰納法を用いて証明します。

(1) $m = 0$ のとき:

$\frac{d^0 z}{dt^0} = z$

$\left( h \frac{\partial}{\partial x} + k \frac{\partial}{\partial y} \right)^0 z = z$

よって、$m = 0$ のとき成立します。

(2) $m = 1$ のとき:

問題文の最初に定理10を用いて示されている通り、

$\frac{dz}{dt} = h \frac{\partial z}{\partial x} + k \frac{\partial z}{\partial y} = \left(h \frac{\partial}{\partial x} + k \frac{\partial}{\partial y}\right)z$

よって、$m = 1$ のとき成立します。

(3) $m = l$ のとき成立すると仮定します。すなわち、

$\frac{d^l z}{dt^l} = \left( h \frac{\partial}{\partial x} + k \frac{\partial}{\partial y} \right)^l z$

が成立すると仮定します。

(4) $m = l + 1$ のときを考えます。

$\frac{d^{l+1} z}{dt^{l+1}} = \frac{d}{dt} \left( \frac{d^l z}{dt^l} \right)$

帰納法の仮定より、

$\frac{d^{l+1} z}{dt^{l+1}} = \frac{d}{dt} \left[ \left( h \frac{\partial}{\partial x} + k \frac{\partial}{\partial y} \right)^l z \right]$

$\frac{d}{dt}$ を計算するために、合成関数の微分を用います。

$\frac{d}{dt} = h\frac{\partial}{\partial x} + k\frac{\partial}{\partial y}$ なので、

$\frac{d^{l+1} z}{dt^{l+1}} = \left(h \frac{\partial}{\partial x} + k \frac{\partial}{\partial y}\right) \left[ \left( h \frac{\partial}{\partial x} + k \frac{\partial}{\partial y} \right)^l z \right]$

$\frac{d^{l+1} z}{dt^{l+1}} = \left( h \frac{\partial}{\partial x} + k \frac{\partial}{\partial y} \right)^{l+1} z$

したがって、$m = l + 1$ のときも成立します。

(1)~(4)より、数学的帰納法によって、すべての $0 \le m \le n$ に対して、

$\frac{d^m z}{dt^m} = \left( h \frac{\partial}{\partial x} + k \frac{\partial}{\partial y} \right)^m z$

が成立することが証明されました。

3. 最終的な答え

$\frac{d^m z}{dt^m} = \left( h \frac{\partial}{\partial x} + k \frac{\partial}{\partial y} \right)^m z$ (証明終わり)