自然数の列を、第 $n$ 群に $2^{n-1}$ 個の数が入るように群に分ける。 (1) 第 $n$ 群の最初の数を $n$ の式で表せ。 (2) 第 $n$ 群に入るすべての数の和 $S$ を求めよ。

1. 問題の内容

自然数の列を、第 $n$ 群に $2^{n-1}$ 個の数が入るように群に分ける。

(1) 第 $n$ 群の最初の数を $n$ の式で表せ。

(2) 第 $n$ 群に入るすべての数の和 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 第 $n$ 群の最初の数を求める。

第 $n-1$ 群までの項数を考える。第 $k$ 群には $2^{k-1}$ 個の数が入っているので、第 $n-1$ 群までの項数の合計は、

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\sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1} = 1 + 2 + 4 + \dots + 2^{n-2} = \frac{1(2^{n-1} - 1)}{2-1} = 2^{n-1} - 1

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したがって、第 $n$ 群の最初の数は、$2^{n-1}$ である。

(2) 第 $n$ 群に入るすべての数の和 $S$ を求める。

第 $n$ 群の最初の数は $2^{n-1}$ であり、第 $n$ 群には $2^{n-1}$ 個の数が入るので、第 $n$ 群の最後の数は $2^{n-1} + 2^{n-1} - 1 = 2^n - 1$ である。

したがって、第 $n$ 群の和 $S$ は、初項 $2^{n-1}$、末項 $2^n - 1$、項数 $2^{n-1}$ の等差数列の和として求められる。

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S = \frac{2^{n-1}}{2} (2^{n-1} + 2^n - 1) = 2^{n-2} (2^{n-1} + 2 \cdot 2^{n-1} - 1) = 2^{n-2} (3 \cdot 2^{n-1} - 1) = 3 \cdot 2^{2n-3} - 2^{n-2}

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3. 最終的な答え

(1) 第 $n$ 群の最初の数: $2^{n-1}$

(2) 第 $n$ 群に入るすべての数の和 $S$: $3 \cdot 2^{2n-3} - 2^{n-2}$