$\sqrt{2}$が無理数であることを用いて、$1 + 3\sqrt{2}$が無理数であることを証明します。

1. 問題の内容

$\sqrt{2}$が無理数であることを用いて、$1 + 3\sqrt{2}$が無理数であることを証明します。

2. 解き方の手順

背理法を使って証明します。

まず、$1 + 3\sqrt{2}$が有理数であると仮定します。すると、$1 + 3\sqrt{2} = r$（$r$は有理数）と表すことができます。

この式を変形して$\sqrt{2}$について解くと、以下のようになります。

$3\sqrt{2} = r - 1$

$\sqrt{2} = \frac{r - 1}{3}$

ここで、$r$は有理数なので、$r - 1$も有理数です。また、3も有理数なので、$\frac{r - 1}{3}$も有理数です。

つまり、$\sqrt{2}$が有理数であるという結論が得られました。

しかし、これは$\sqrt{2}$が無理数であるという前提と矛盾します。

したがって、$1 + 3\sqrt{2}$が有理数であるという仮定が誤りであることが示されました。

よって、$1 + 3\sqrt{2}$は無理数です。

3. 最終的な答え

$1 + 3\sqrt{2}$は無理数である。