与えられた関数 $y = \sin^5 x \cos 5x$ の導関数 $y'$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \sin^5 x \cos 5x$ の導関数 $y'$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

積の微分法と合成関数の微分法を組み合わせて解きます。積の微分法は $(uv)' = u'v + uv'$ であり、合成関数の微分法は $(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)$ です。

まず、$u = \sin^5 x$ と $v = \cos 5x$ とおきます。

$u' = (\sin^5 x)'$ を求めます。これは合成関数の微分なので、まず $\sin x$ を $t$ と置き換えると、 $u = t^5$ となります。$dt/dx = \cos x$ なので、

$u' = 5t^4 \cdot dt/dx = 5(\sin x)^4 \cdot \cos x = 5 \sin^4 x \cos x$

次に、$v' = (\cos 5x)'$ を求めます。これも合成関数の微分なので、$5x$ を $s$ と置き換えると、$v = \cos s$ となります。$ds/dx = 5$ なので、

$v' = -\sin s \cdot ds/dx = -\sin 5x \cdot 5 = -5 \sin 5x$

したがって、$y' = u'v + uv' = 5 \sin^4 x \cos x \cdot \cos 5x + \sin^5 x \cdot (-5 \sin 5x) = 5 \sin^4 x \cos x \cos 5x - 5 \sin^5 x \sin 5x$

3. 最終的な答え

$y' = 5 \sin^4 x \cos x \cos 5x - 5 \sin^5 x \sin 5x$