実数上で定義された連続関数 $f(x)$ と $g(x)$ があり、すべての有理数 $a \in \mathbb{Q}$ に対して $f(a) = g(a)$ が成り立つ。このとき、すべての実数 $x$ に対して $f(x) = g(x)$ が成り立つ、つまり $f(x)$ と $g(x)$ が恒等的に等しいことを示せ。

## 問題9

1. 問題の内容

実数上で定義された連続関数 $f(x)$ と $g(x)$ があり、すべての有理数 $a \in \mathbb{Q}$ に対して $f(a) = g(a)$ が成り立つ。このとき、すべての実数 $x$ に対して $f(x) = g(x)$ が成り立つ、つまり $f(x)$ と $g(x)$ が恒等的に等しいことを示せ。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $h(x) = f(x) - g(x)$ を定義する。このとき、$h(x)$ も連続関数である。

(2) 問題の仮定より、すべての有理数 $a \in \mathbb{Q}$ に対して $f(a) = g(a)$ が成り立つので、$h(a) = f(a) - g(a) = 0$ である。つまり、$h(x)$ はすべての有理数で $0$ になる。

(3) 実数 $x$ を任意に取る。実数の稠密性より、任意の $\epsilon > 0$ に対して、$x$ に収束する有理数列 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ が存在する。つまり、$\lim_{n \to \infty} a_n = x$ である。

(4) $h(x)$ は連続関数なので、$\lim_{n \to \infty} h(a_n) = h(x)$ が成り立つ。

(5) $h(a_n) = 0$ なので、$\lim_{n \to \infty} h(a_n) = \lim_{n \to \infty} 0 = 0$ である。

(6) (4)と(5)より、$h(x) = 0$ となる。これは任意の実数 $x$ について成り立つ。

(7) したがって、任意の実数 $x$ に対して $f(x) - g(x) = 0$、つまり $f(x) = g(x)$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

すべての実数 $x$ に対して $f(x) = g(x)$ が成り立つ。