一次関数 $y = ax + b$ ($-1 \le x \le 2$) の値域が $6 \le y \le 12$ であるとき、$a$ と $b$ の値を求める問題です。ただし、$a > 0$ とします。

1. 問題の内容

一次関数 $y = ax + b$ ($-1 \le x \le 2$) の値域が $6 \le y \le 12$ であるとき、$a$ と $b$ の値を求める問題です。ただし、$a > 0$ とします。

2. 解き方の手順

$a > 0$ なので、一次関数 $y = ax + b$ は $x$ が増加すると $y$ も増加する単調増加の関数です。

したがって、$x = -1$ のときに $y$ は最小値 6 をとり、$x = 2$ のときに $y$ は最大値 12 をとります。

これより、次の2つの式が得られます。

$a(-1) + b = 6$

$a(2) + b = 12$

これらを連立方程式として解きます。

まず、一つ目の式を整理すると、

$-a + b = 6$　（１）

二つ目の式は、

$2a + b = 12$　（２）

となります。（２）－（１）を計算すると、

$(2a + b) - (-a + b) = 12 - 6$

$3a = 6$

$a = 2$

$a = 2$ を（１）に代入すると、

$-2 + b = 6$

$b = 8$

したがって、$a = 2$、$b = 8$ が答えとなります。

3. 最終的な答え

$a = 2$, $b = 8$