与えられた三角関数の式 $-\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta$ を $r\sin(\theta + \alpha)$ の形に変形せよ。

1. 問題の内容

与えられた三角関数の式 $-\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta$ を $r\sin(\theta + \alpha)$ の形に変形せよ。

2. 解き方の手順

三角関数の合成公式 $a\sin\theta + b\cos\theta = \sqrt{a^2 + b^2}\sin(\theta + \alpha)$ を利用する。ここで、$\cos\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$、$\sin\alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$である。

今回の問題では、$a = -\sqrt{3}$、 $b = 1$ である。

まず、$\sqrt{a^2 + b^2}$ を計算する。

$\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$

次に、$\cos\alpha$ と $\sin\alpha$ を計算する。

$\cos\alpha = \frac{-\sqrt{3}}{2}$

$\sin\alpha = \frac{1}{2}$

これらの値から、$\alpha$ を求める。$\cos\alpha = \frac{-\sqrt{3}}{2}$ かつ $\sin\alpha = \frac{1}{2}$ を満たす $\alpha$ は、$\alpha = \frac{5\pi}{6}$ である。

したがって、$-\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta = 2\sin(\theta + \frac{5\pi}{6})$ となる。

3. 最終的な答え

$2\sin(\theta + \frac{5\pi}{6})$