座標平面上の曲線 $C: y = 2x^3 + 1$ 上の点 $P(t, 2t^3 + 1)$ における接線を $l$ とし、$l$ と $C$ のもう一つの共有点を $Q$ とする。点 $Q$ における $C$ の接線を $m$ とする。$l$ と $m$ のなす角の大きさを $\theta$ とするとき、以下の問いに答えよ。ただし、$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ である。 (1) 直線 $l$ の方程式を $y = ax + b$ とするとき、$a, b$ を $t$ を用いて表せ。 (2) 点 $Q$ の $x$ 座標を $t$ を用いて表せ。 (3) 直線 $m$ の傾きを $t$ を用いて表せ。 (4) $\tan \theta$ を $t$ を用いて表せ。 (5) $\theta$ が最大になるときの $t$ の値を求めよ。

## 数学の問題の解答

1. 問題の内容

座標平面上の曲線 $C: y = 2x^3 + 1$ 上の点 $P(t, 2t^3 + 1)$ における接線を $l$ とし、$l$ と $C$ のもう一つの共有点を $Q$ とする。点 $Q$ における $C$ の接線を $m$ とする。$l$ と $m$ のなす角の大きさを $\theta$ とするとき、以下の問いに答えよ。ただし、$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ である。

(1) 直線 $l$ の方程式を $y = ax + b$ とするとき、$a, b$ を $t$ を用いて表せ。

(2) 点 $Q$ の $x$ 座標を $t$ を用いて表せ。

(3) 直線 $m$ の傾きを $t$ を用いて表せ。

(4) $\tan \theta$ を $t$ を用いて表せ。

(5) $\theta$ が最大になるときの $t$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $l$ の方程式

$y = 2x^3 + 1$ を微分すると、$y' = 6x^2$。

点 $P(t, 2t^3 + 1)$ における接線 $l$ の傾きは、$6t^2$。

したがって、接線 $l$ の方程式は、

$y - (2t^3 + 1) = 6t^2(x - t)$

$y = 6t^2 x - 6t^3 + 2t^3 + 1$

$y = 6t^2 x - 4t^3 + 1$

よって、$a = 6t^2$、$b = -4t^3 + 1$

(2) 点 $Q$ の $x$ 座標

直線 $l$ と曲線 $C$ の交点の $x$ 座標は、$2x^3 + 1 = 6t^2 x - 4t^3 + 1$ を満たす。

$2x^3 - 6t^2 x + 4t^3 = 0$

$x^3 - 3t^2 x + 2t^3 = 0$

$(x - t)^2 (x + 2t) = 0$

$x = t, -2t$

点 $P$ における接線なので、$x = t$ は重解である。よって、$Q$ の $x$ 座標は $-2t$。

(3) 直線 $m$ の傾き

点 $Q(-2t, -16t^3 + 1)$ における接線 $m$ の傾きは、$6(-2t)^2 = 24t^2$。

(4) $\tan \theta$

直線 $l$ の傾きは $6t^2$、直線 $m$ の傾きは $24t^2$ である。

$\tan \theta = \left| \frac{24t^2 - 6t^2}{1 + (24t^2)(6t^2)} \right| = \left| \frac{18t^2}{1 + 144t^4} \right| = \frac{18t^2}{1 + 144t^4}$

($t > 0$ より、絶対値を外せる)

(5) $\theta$ が最大になるときの $t$ の値

$\tan \theta = \frac{18t^2}{1 + 144t^4}$ の最大値を求める。

$u = t^2$ とおくと、$\tan \theta = \frac{18u}{1 + 144u^2}$

$\frac{d(\tan \theta)}{du} = \frac{18(1 + 144u^2) - 18u(288u)}{(1 + 144u^2)^2} = \frac{18(1 - 144u^2)}{(1 + 144u^2)^2}$

$\frac{d(\tan \theta)}{du} = 0$ となるのは、$1 - 144u^2 = 0$ より、$u^2 = \frac{1}{144}$、 $u = \frac{1}{12}$ ($\because u>0$)

$t^2 = \frac{1}{12}$ より、$t = \frac{1}{\sqrt{12}} = \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $a = 6t^2$, $b = -4t^3 + 1$

(2) $-2t$

(3) $24t^2$

(4) $\tan \theta = \frac{18t^2}{1 + 144t^4}$

(5) $t = \frac{\sqrt{3}}{6}$