次の極限を計算します。 $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin x - 1}{1 - \cos x}$

1. 問題の内容

次の極限を計算します。

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin x - 1}{1 - \cos x}$

2. 解き方の手順

この極限は不定形 $\frac{0}{0}$ の形なので、ロピタルの定理を適用できます。

$\sin x$ の微分は $\cos x$ であり、$\cos x$ の微分は $-\sin x$ であることを利用します。

分子と分母をそれぞれ微分すると、以下のようになります。

$\frac{d}{dx} (\sin x - 1) = \cos x$

$\frac{d}{dx} (1 - \cos x) = \sin x$

したがって、ロピタルの定理を適用すると、

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin x - 1}{1 - \cos x} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\sin x}$

$x = \frac{\pi}{2}$ を代入すると、

$\frac{\cos(\frac{\pi}{2})}{\sin(\frac{\pi}{2})} = \frac{0}{1} = 0$

3. 最終的な答え

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