$\theta - \frac{\pi}{3} = t$ とおくとき、$\lim_{t \to 0} \frac{\ln(1-2\cos(t+\frac{\pi}{3}))}{t} = \frac{1}{2}\sqrt{3}$ が成り立つ。このとき、$\theta$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\theta - \frac{\pi}{3} = t$ とおくとき、$\lim_{t \to 0} \frac{\ln(1-2\cos(t+\frac{\pi}{3}))}{t} = \frac{1}{2}\sqrt{3}$ が成り立つ。このとき、$\theta$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\cos(t+\frac{\pi}{3})$ を加法定理を用いて展開します。

$\cos(t+\frac{\pi}{3}) = \cos t \cos \frac{\pi}{3} - \sin t \sin \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\cos t - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin t$

したがって、

$1-2\cos(t+\frac{\pi}{3}) = 1 - \cos t + \sqrt{3}\sin t$

$\lim_{t \to 0} \frac{\ln(1-2\cos(t+\frac{\pi}{3}))}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\ln(1 - \cos t + \sqrt{3}\sin t)}{t}$

ここで、ロピタルの定理を用いると、

$\lim_{t \to 0} \frac{\frac{\sin t + \sqrt{3}\cos t}{1 - \cos t + \sqrt{3}\sin t}}{1} = \lim_{t \to 0} \frac{\sin t + \sqrt{3}\cos t}{1 - \cos t + \sqrt{3}\sin t} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$

しかし、問題文によると、極限値は $\frac{1}{2}\sqrt{3}$ であるので、何らかの計算ミスがあると考えられる。

$\theta - \frac{\pi}{3} = t$　とおくと　$\theta = t+\frac{\pi}{3}$

$1-2\cos(\theta) = 1-2\cos(t+\frac{\pi}{3}) = 1 - \cos(t)+\sqrt{3}\sin(t)$

$t \to 0$ のとき $\theta \to \frac{\pi}{3}$

$\lim_{\theta \to \frac{\pi}{3}} \frac{\ln(1-2\cos(\theta))}{\theta-\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{2}\sqrt{3}$

$\frac{d}{d\theta}\ln(1-2\cos(\theta)) = \frac{2\sin\theta}{1-2\cos\theta}$

$\theta = \frac{\pi}{3}$ のとき $\frac{2\sin\theta}{1-2\cos\theta} = \frac{2\frac{\sqrt{3}}{2}}{1-2\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{0}$

$\lim_{\theta \to \frac{\pi}{3}} \frac{\ln(1-2\cos\theta)}{\theta - \frac{\pi}{3}} = \frac{1}{2}\sqrt{3}$

$\frac{2\sin\theta}{1-2\cos\theta} = \frac{1}{2}\sqrt{3}$

$4\sin\theta = \sqrt{3}(1-2\cos\theta)$

$4\sin\theta + 2\sqrt{3}\cos\theta = \sqrt{3}$

$2\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sqrt{7} \sin(\theta+\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ただし、$\cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{7}}$、 $\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$

3. 最終的な答え

この問題設定では$\theta$が求まらない。

問題文に誤りがある可能性がある。