円柱面 $x^2 + y^2 = 1, 0 \le z \le 1$ の全表面を $S$ とし、ベクトル場 $F = 2xi + 2yj + zk$ が与えられたとき、面積分 $\int_S F \cdot n \, dS$ を求める。

1. 問題の内容

円柱面 $x^2 + y^2 = 1, 0 \le z \le 1$ の全表面を $S$ とし、ベクトル場 $F = 2xi + 2yj + zk$ が与えられたとき、面積分 $\int_S F \cdot n \, dS$ を求める。

2. 解き方の手順

発散定理を用いる。発散定理とは、領域 $V$ の境界を $S$ とするとき、

$$\int_S F \cdot n \, dS = \int_V \nabla \cdot F \, dV$$

である。

まず、$F = (2x, 2y, z)$ の発散を計算する。

$$\nabla \cdot F = \frac{\partial}{\partial x}(2x) + \frac{\partial}{\partial y}(2y) + \frac{\partial}{\partial z}(z) = 2 + 2 + 1 = 5$$

次に、$x^2 + y^2 = 1, 0 \le z \le 1$ で定義される円柱の内部領域 $V$ 上で、発散を積分する。円柱座標系 $x = r\cos\theta, y = r\sin\theta, z = z$ を用いると、

$$\int_V \nabla \cdot F \, dV = \int_V 5 \, dV = 5 \int_V dV$$

円柱の体積は、底面積 $\pi r^2$ に高さ $h$ をかけたものである。この場合、底面の半径は $r=1$ であり、高さは $h=1$ なので、体積は $\pi \cdot 1^2 \cdot 1 = \pi$ である。

したがって、

$$5 \int_V dV = 5 \pi$$

3. 最終的な答え

$5\pi$