次の関数を微分せよ。 a) $y = \sin(2x)$ c) $y = \cos^{-1}(2x)$

1. 問題の内容

次の関数を微分せよ。

a) $y = \sin(2x)$

c) $y = \cos^{-1}(2x)$

2. 解き方の手順

a) $y = \sin(2x)$ の微分

合成関数の微分公式を利用する。

$y = \sin(u)$, $u = 2x$ とすると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = \cos(u)$

$\frac{du}{dx} = 2$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \cos(u) \cdot 2 = 2\cos(2x)$

c) $y = \cos^{-1}(2x)$ の微分

合成関数の微分公式を利用する。

$y = \cos^{-1}(u)$, $u = 2x$ とすると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = -\frac{1}{\sqrt{1 - u^2}}$

$\frac{du}{dx} = 2$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \cdot 2 = -\frac{2}{\sqrt{1 - (2x)^2}} = -\frac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}}$

3. 最終的な答え

a) $2\cos(2x)$

c) $-\frac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}}$