微分積分に関する穴埋め問題です。具体的には、 (1) 関数の微分係数の定義に基づいた計算 (2) 曲線上の点における接線の方程式 (3) 関数の極大値、極小値 (4) 定積分・不定積分の計算 が問われています。

1. 問題の内容

微分積分に関する穴埋め問題です。具体的には、

(1) 関数の微分係数の定義に基づいた計算

(2) 曲線上の点における接線の方程式

(3) 関数の極大値、極小値

(4) 定積分・不定積分の計算

が問われています。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$f(x) = 3x^2$ の $x=a$ から $x=a+h$ までの平均変化率を計算します。

平均変化率は $\frac{f(a+h) - f(a)}{a+h - a} = \frac{3(a+h)^2 - 3a^2}{h} = \frac{3(a^2 + 2ah + h^2) - 3a^2}{h} = \frac{6ah + 3h^2}{h} = 6a + 3h$ となります。

したがって、アには6、イには3が入ります。

次に、$f'(a) = \lim_{h \to 0} (6a + 3h) = 6a$ となります。

したがって、ウには6、エには6が入ります。

(2)

$y = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 2x$ のとき、 $x=2$ のとき、$y = \frac{1}{4}(2^4) - 2(2^2) + 2(2) = \frac{1}{4}(16) - 8 + 4 = 4 - 8 + 4 = 0$。

したがって、オには0が入ります。

次に、$y' = x^3 - 4x + 2$ より、$x=2$ における傾きは $y'(2) = 2^3 - 4(2) + 2 = 8 - 8 + 2 = 2$。

したがって、接線の方程式は $y - 0 = 2(x - 2)$ より、$y = 2x - 4$ となります。

したがって、カには2、キには4が入ります。

(3)

$f(x) = -x^3 - 3x^2 + 9x + 10$ より、$f'(x) = -3x^2 - 6x + 9 = -3(x^2 + 2x - 3) = -3(x+3)(x-1)$。

$f'(x) = 0$ となるのは、$x = -3$ または $x = 1$ のときです。

増減表を書くと、

x | ... | -3 | ... | 1 | ...

-------|-----|-----|-----|-----|-----

f'(x)| - | 0 | + | 0 | -

f(x) | ↓ | 極小 | ↑ | 極大 | ↓

$f(-3) = -(-3)^3 - 3(-3)^2 + 9(-3) + 10 = 27 - 27 - 27 + 10 = -17$

$f(1) = -1^3 - 3(1^2) + 9(1) + 10 = -1 - 3 + 9 + 10 = 15$

したがって、クには1、ケコには15、サシには-3、スセソには-17が入ります。

(4)

$\int (3x^2 - 4x + 1) dx = x^3 - 2x^2 + x + C$ より、タには3、チには2が入ります。

$\int_1^4 (x^2 + 2x - 6) dx = [\frac{1}{3}x^3 + x^2 - 6x]_1^4 = (\frac{64}{3} + 16 - 24) - (\frac{1}{3} + 1 - 6) = \frac{64}{3} - 8 - \frac{1}{3} + 5 = \frac{63}{3} - 3 = 21 - 3 = 18$

したがって、テトには18が入ります。

3. 最終的な答え

(1) ア：6, イ：3, ウ：6, エ：6

(2) オ：0, カ：2, キ：4

(3) ク：1, ケコ：15, サシ：-3, スセソ：-17

(4) タ：3, チ：2, テト：18