円柱 $x^2 + y^2 = 1, 0 \le z \le 1$ の全表面 $S$ 上でベクトル場 $F = 2xi + 2yj + zk$ の面積分 $\iint_S F \cdot n dS$ を求める。

1. 問題の内容

円柱 $x^2 + y^2 = 1, 0 \le z \le 1$ の全表面 $S$ 上でベクトル場 $F = 2xi + 2yj + zk$ の面積分 $\iint_S F \cdot n dS$ を求める。

2. 解き方の手順

発散定理を用いて面積分を体積積分に変換する。

発散定理とは、閉曲面 $S$ で囲まれた領域 $V$ に対して、

$$\iint_S F \cdot n dS = \iiint_V \nabla \cdot F dV$$

が成り立つというものである。

まず、ベクトル場 $F$ の発散 $\nabla \cdot F$ を計算する。

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\nabla \cdot F = \frac{\partial}{\partial x}(2x) + \frac{\partial}{\partial y}(2y) + \frac{\partial}{\partial z}(z) = 2 + 2 + 1 = 5

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次に、体積積分 $\iiint_V \nabla \cdot F dV$ を計算する。

領域 $V$ は円柱 $x^2 + y^2 \le 1, 0 \le z \le 1$ である。

円柱座標 $(r, \theta, z)$ を用いると、

$x = r\cos\theta, y = r\sin\theta, z = z$ であり、

$dV = r dz dr d\theta$ となる。

積分範囲は $0 \le r \le 1, 0 \le \theta \le 2\pi, 0 \le z \le 1$ である。

したがって、

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\iiint_V \nabla \cdot F dV = \iiint_V 5 dV = 5 \int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_0^1 r dz dr d\theta = 5 \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 r dr \int_0^1 dz

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積分を計算すると、

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5 \int_0^{2\pi} d\theta = 5 [ \theta ]_0^{2\pi} = 5(2\pi) = 10\pi

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\int_0^1 r dr = \left[ \frac{1}{2} r^2 \right]_0^1 = \frac{1}{2}

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\int_0^1 dz = [z]_0^1 = 1

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よって、

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\iiint_V \nabla \cdot F dV = 5 \times 2\pi \times \frac{1}{2} \times 1 = 5\pi

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3. 最終的な答え

$5\pi$