与えられた極限の計算、関数の導関数、そしてマクローリン展開の係数を求める問題です。具体的には以下の3つの問題に分かれています。 (1) $\lim_{x\to1} \frac{\cos(x-1)-1}{x^2-2x+1}$ を計算する。 (2) $f(x) = e^{2x} \arctan(e^{-2x})$ の導関数 $f'(x)$ を計算し、与えられた形 $f'(x) =$ キ $e^{2x} (\arctan(e^{-2x}) - \frac{ク}{1+e^{4x}})$ に当てはまる定数 キ, ク を選択肢から選ぶ。また、$g(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2+3}}$ について、$g'(1)$ および $g''(1)$ の値を求め、選択肢から選ぶ。 (3) $f(x) = (1+x)^{1/3} + \frac{4}{81}x^3$ のマクローリン展開 $f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + R_4(x)$ において、係数 $a_0, a_1, a_2, a_3$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた極限の計算、関数の導関数、そしてマクローリン展開の係数を求める問題です。具体的には以下の3つの問題に分かれています。

(1) $\lim_{x\to1} \frac{\cos(x-1)-1}{x^2-2x+1}$ を計算する。

(2) $f(x) = e^{2x} \arctan(e^{-2x})$ の導関数 $f'(x)$ を計算し、与えられた形 $f'(x) =$ キ $e^{2x} (\arctan(e^{-2x}) - \frac{ク}{1+e^{4x}})$ に当てはまる定数 キ, ク を選択肢から選ぶ。また、$g(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2+3}}$ について、$g'(1)$ および $g''(1)$ の値を求め、選択肢から選ぶ。

(3) $f(x) = (1+x)^{1/3} + \frac{4}{81}x^3$ のマクローリン展開 $f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + R_4(x)$ において、係数 $a_0, a_1, a_2, a_3$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x\to1} \frac{\cos(x-1)-1}{x^2-2x+1}$ の計算：

まず、$x-1 = t$ と置くと、$x \to 1$ のとき $t \to 0$ となる。

したがって、$\lim_{x\to1} \frac{\cos(x-1)-1}{(x-1)^2} = \lim_{t\to0} \frac{\cos(t)-1}{t^2}$ となる。

$\cos(t) = 1 - \frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} - \cdots$ を用いると、$\lim_{t\to0} \frac{\cos(t)-1}{t^2} = \lim_{t\to0} \frac{-\frac{t^2}{2} + O(t^4)}{t^2} = -\frac{1}{2}$ となる。

よって、アイ = -1、ウ = 2。

(2) $f(x) = e^{2x} \arctan(e^{-2x})$ の導関数の計算：

積の微分公式より、$f'(x) = (e^{2x})' \arctan(e^{-2x}) + e^{2x} (\arctan(e^{-2x}))'$。

$(e^{2x})' = 2e^{2x}$ であり、$(\arctan(e^{-2x}))' = \frac{1}{1+(e^{-2x})^2} \cdot (e^{-2x})' = \frac{-2e^{-2x}}{1+e^{-4x}} = \frac{-2e^{2x}}{e^{4x}(1+e^{-4x})} = \frac{-2e^{2x}}{e^{4x}+1}$.

したがって、$f'(x) = 2e^{2x} \arctan(e^{-2x}) + e^{2x} \frac{-2e^{-2x}}{1+e^{-4x}} = 2e^{2x} \arctan(e^{-2x}) - \frac{2}{1+e^{-4x}} = 2e^{2x} \arctan(e^{-2x}) - \frac{2e^{4x}}{e^{4x}(1+e^{-4x})} = 2e^{2x} \arctan(e^{-2x}) - \frac{2e^{4x}}{1+e^{4x}}e^{-4x}$.

$f'(x) = 2e^{2x}\arctan(e^{-2x}) - \frac{2e^{-2x}}{1+e^{-4x}}$。

よって、キ = 2、ク = 2。

$g(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2+3}} = (x^2+3)^{-1/2}$.

$g'(x) = -\frac{1}{2}(x^2+3)^{-3/2} \cdot 2x = -x(x^2+3)^{-3/2}$.

$g'(1) = -1(1^2+3)^{-3/2} = -1(4)^{-3/2} = -\frac{1}{8}$.

$g''(x) = -(x^2+3)^{-3/2} - x (-\frac{3}{2})(x^2+3)^{-5/2} \cdot 2x = -(x^2+3)^{-3/2} + 3x^2 (x^2+3)^{-5/2}$.

$g''(1) = -(1^2+3)^{-3/2} + 3(1^2) (1^2+3)^{-5/2} = -(4)^{-3/2} + 3 (4)^{-5/2} = -\frac{1}{8} + \frac{3}{32} = -\frac{4}{32} + \frac{3}{32} = -\frac{1}{32}$.

よって、ケ = -1/8、コ = -1/32。

(3) $f(x) = (1+x)^{1/3} + \frac{4}{81}x^3$ のマクローリン展開：

$(1+x)^{1/3} = 1 + \frac{1}{3}x + \frac{\frac{1}{3}(\frac{1}{3}-1)}{2!}x^2 + \frac{\frac{1}{3}(\frac{1}{3}-1)(\frac{1}{3}-2)}{3!}x^3 + \cdots$

$= 1 + \frac{1}{3}x + \frac{\frac{1}{3}(-\frac{2}{3})}{2}x^2 + \frac{\frac{1}{3}(-\frac{2}{3})(-\frac{5}{3})}{6}x^3 + \cdots$

$= 1 + \frac{1}{3}x - \frac{1}{9}x^2 + \frac{5}{81}x^3 + \cdots$

$f(x) = (1+x)^{1/3} + \frac{4}{81}x^3 = 1 + \frac{1}{3}x - \frac{1}{9}x^2 + \frac{5}{81}x^3 + \frac{4}{81}x^3 + \cdots$

$= 1 + \frac{1}{3}x - \frac{1}{9}x^2 + \frac{9}{81}x^3 + \cdots = 1 + \frac{1}{3}x - \frac{1}{9}x^2 + \frac{1}{9}x^3 + \cdots$

よって、$a_0 = 1, a_1 = \frac{1}{3}, a_2 = -\frac{1}{9}, a_3 = \frac{1}{9}$.

3. 最終的な答え

(1) アイ = -1、ウ = 2

(2) キ = 2、ク = 2、ケ = -1/8、コ = -1/32

(3) サ = 1、シ/ス = 1/3、セソ/タ = -1/9、チ/ツ = 1/9