不定積分 $\int x(1-x^2)^{100} dx$ を計算する問題です。ただし、$t = x^2 - 1$ という変数変換を利用し、結果を $t$ で表す形にします。

1. 問題の内容

不定積分 $\int x(1-x^2)^{100} dx$ を計算する問題です。ただし、$t = x^2 - 1$ という変数変換を利用し、結果を $t$ で表す形にします。

2. 解き方の手順

まず、$t = x^2 - 1$ とおくと、$\frac{dt}{dx} = 2x$ となります。したがって、$x \, dx = \frac{1}{2} dt$ です。

また、$1 - x^2 = 1 - (t + 1) = -t$ なので、積分は

$\int x(1-x^2)^{100} dx = \int (-t)^{100} \cdot \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int t^{100} dt$

となります。

$\int t^{100} dt = \frac{t^{101}}{101} + C$

なので、

$\frac{1}{2} \int t^{100} dt = \frac{1}{2} \cdot \frac{t^{101}}{101} + C = \frac{1}{202} t^{101} + C$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{202}t^{101} + C$