与えられた極限を計算する問題です。問題文は以下の通りです。 $\lim_{t \to 0} \frac{\ln(1 - 2\cos(t + \frac{\pi}{3}))}{t}$ この極限を計算し、与えられた値 $2\sqrt{3}$ と比較します。

1. 問題の内容

与えられた極限を計算する問題です。問題文は以下の通りです。

$\lim_{t \to 0} \frac{\ln(1 - 2\cos(t + \frac{\pi}{3}))}{t}$

この極限を計算し、与えられた値 $2\sqrt{3}$ と比較します。

2. 解き方の手順

まず、 $t \to 0$ のとき、$\cos(t + \frac{\pi}{3})$ は $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ に近づきます。

したがって、$1 - 2\cos(t + \frac{\pi}{3})$ は $1 - 2(\frac{1}{2}) = 0$ に近づきます。

$\ln(0)$ は定義されないので、この極限は不定形 $\frac{-\infty}{0}$ になり、直接計算することはできません。

そこで、ロピタルの定理を適用します。

ロピタルの定理を適用するには、分子と分母をそれぞれ微分する必要があります。

分子の微分:

$\frac{d}{dt} \ln(1 - 2\cos(t + \frac{\pi}{3})) = \frac{2\sin(t + \frac{\pi}{3})}{1 - 2\cos(t + \frac{\pi}{3})}$

分母の微分:

$\frac{d}{dt} t = 1$

したがって、極限は以下のように書き換えられます。

$\lim_{t \to 0} \frac{2\sin(t + \frac{\pi}{3})}{1 - 2\cos(t + \frac{\pi}{3})}$

ここで、$t \to 0$ とすると、

$\sin(t + \frac{\pi}{3}) \to \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos(t + \frac{\pi}{3}) \to \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

したがって、極限は以下のように計算できます。

$\lim_{t \to 0} \frac{2\sin(t + \frac{\pi}{3})}{1 - 2\cos(t + \frac{\pi}{3})} = \frac{2(\frac{\sqrt{3}}{2})}{1 - 2(\frac{1}{2})} = \frac{\sqrt{3}}{0}$

分母が0になるため、極限は存在しません。しかし、元の問題の等号は成り立たないことに注意します。

与えられた値 $-2\sqrt{3}$と、上の計算結果が一致しないので、どこかに誤りがあるか、問題設定がおかしい可能性があります。

3. 最終的な答え

$\lim_{t \to 0} \frac{\ln(1 - 2\cos(t + \frac{\pi}{3}))}{t}$ は存在しない。したがって与えられた等式は成り立たない。