3次関数 $f(x) = x^3 + ax^2 + 2bx$ が、区間 $0 < x < 2$ で極大値と極小値を持つような実数 $a, b$ の条件を求め、$ab$ 座標平面上に図示する問題です。

1. 問題の内容

3次関数 $f(x) = x^3 + ax^2 + 2bx$ が、区間 $0 < x < 2$ で極大値と極小値を持つような実数 $a, b$ の条件を求め、$ab$ 座標平面上に図示する問題です。

2. 解き方の手順

(1) まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = 3x^2 + 2ax + 2b$

(2) $f(x)$ が $0 < x < 2$ で極大値と極小値を持つためには、$f'(x) = 0$ が $0 < x < 2$ の範囲に異なる2つの実数解を持つ必要があります。そのため、$f'(x) = 0$ の判別式 $D$ が正である必要があります。

$D = (2a)^2 - 4(3)(2b) = 4a^2 - 24b > 0$

$a^2 - 6b > 0$

$b < \frac{a^2}{6}$

(3) $f'(x) = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とします。解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = -\frac{2a}{3}$

$\alpha \beta = \frac{2b}{3}$

$0 < x < 2$ の範囲に異なる2つの解を持つための条件は、以下の3つです。

(i) $0 < \alpha < 2$ かつ $0 < \beta < 2$

(ii) $\alpha + \beta > 0$ かつ $\alpha + \beta < 4$

(iii) $\alpha \beta > 0$

(i) $f'(0) > 0$ かつ $f'(2) > 0$ を満たす必要があります。

$f'(0) = 2b > 0 \Rightarrow b > 0$

$f'(2) = 12 + 4a + 2b > 0 \Rightarrow 2a + b > -6 \Rightarrow b > -2a - 6$

(ii) $\alpha + \beta = -\frac{2a}{3} > 0 \Rightarrow a < 0$

$\alpha + \beta = -\frac{2a}{3} < 4 \Rightarrow a > -6$

(iii) $\alpha \beta = \frac{2b}{3} > 0 \Rightarrow b > 0$

(4) 以上の条件をまとめると、

$b < \frac{a^2}{6}$

$b > 0$

$b > -2a - 6$

$-6 < a < 0$

(5) $ab$ 座標平面上に上記の条件を満たす領域を図示します。

$b < a^2/6$ は放物線 $b = a^2/6$ の下側の領域です。

$b > 0$ は $a$ 軸より上の領域です。

$b > -2a-6$ は直線 $b = -2a-6$ より上の領域です。

$-6 < a < 0$ は $a=-6$ と $a=0$ の間の領域です。

これらの条件を全て満たす領域を図示することで、答えとなります。

3. 最終的な答え

条件は以下の通りです。

$b < \frac{a^2}{6}$

$b > 0$

$b > -2a - 6$

$-6 < a < 0$

$ab$ 座標平面上には、これらの不等式が表す領域を図示してください。

放物線 $b=a^2/6$, 直線 $b=-2a-6$, $a$軸, $a=-6$, $a=0$で囲まれた領域となります。

放物線と直線の交点は、$a^2/6 = -2a-6 \implies a^2 + 12a + 36 = 0 \implies (a+6)^2 = 0 \implies a = -6$となり、$b = 0$になるため、a=-6で接しています。

したがって、$a=-6$から$a=0$の範囲において、$b > 0$かつ$b > -2a-6$かつ$b < a^2/6$となる領域となります。