定積分 $\int_{2}^{2\sqrt{3}} \frac{dx}{\sqrt{16-x^2}}$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{2}^{2\sqrt{3}} \frac{dx}{\sqrt{16-x^2}}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、不定積分 $\int \frac{dx}{\sqrt{16-x^2}}$ を計算します。

$x = 4\sin\theta$ と置換します。すると、$dx = 4\cos\theta d\theta$ となります。

$\sqrt{16-x^2} = \sqrt{16 - 16\sin^2\theta} = \sqrt{16(1-\sin^2\theta)} = \sqrt{16\cos^2\theta} = 4\cos\theta$ となります。

したがって、

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\int \frac{dx}{\sqrt{16-x^2}} = \int \frac{4\cos\theta d\theta}{4\cos\theta} = \int d\theta = \theta + C

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ここで、$\sin\theta = \frac{x}{4}$ より、$\theta = \arcsin\left(\frac{x}{4}\right)$ となります。

よって、不定積分は $\arcsin\left(\frac{x}{4}\right) + C$ となります。

次に、定積分を計算します。

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\int_{2}^{2\sqrt{3}} \frac{dx}{\sqrt{16-x^2}} = \left[\arcsin\left(\frac{x}{4}\right)\right]_{2}^{2\sqrt{3}} = \arcsin\left(\frac{2\sqrt{3}}{4}\right) - \arcsin\left(\frac{2}{4}\right) = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \arcsin\left(\frac{1}{2}\right)

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$\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$ であり、$\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$ であるから、

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\int_{2}^{2\sqrt{3}} \frac{dx}{\sqrt{16-x^2}} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}

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3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{6}$