原点をOとする座標平面上に、円K: $x^2 + y^2 - 8x - 6y = 0$ がある。円Kの中心をCとする。 (1) 点Cの座標と円Kの半径を求める。 (2) 点Cを通り、直線OCに垂直な直線をlとする。lの方程式を求め、直線lと円Kの交点A, Bの座標を求める。ただし、$x$座標はA < Bとする。 (3) (2)で求めた2点A, Bに対して、$\triangle ABD$が正三角形となるような点Dを第1象限にとる。点Dの座標を求める。

1. 問題の内容

原点をOとする座標平面上に、円K: $x^2 + y^2 - 8x - 6y = 0$ がある。円Kの中心をCとする。

(1) 点Cの座標と円Kの半径を求める。

(2) 点Cを通り、直線OCに垂直な直線をlとする。lの方程式を求め、直線lと円Kの交点A, Bの座標を求める。ただし、$x$座標はA < Bとする。

(3) (2)で求めた2点A, Bに対して、$\triangle ABD$が正三角形となるような点Dを第1象限にとる。点Dの座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円Kの方程式を平方完成する。

$x^2 - 8x + y^2 - 6y = 0$

$(x^2 - 8x + 16) + (y^2 - 6y + 9) = 16 + 9$

$(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 25$

したがって、円Kの中心Cの座標は(4, 3)で、半径は5である。

(2) 直線OCの傾きは$\frac{3}{4}$である。

直線lはOCに垂直なので、傾きは$-\frac{4}{3}$である。

また、点C(4, 3)を通るので、直線lの方程式は

$y - 3 = -\frac{4}{3}(x - 4)$

$3y - 9 = -4x + 16$

$4x + 3y - 25 = 0$

$4x + 3y = 25$

直線lと円Kの交点A, Bを求める。

$4x + 3y = 25$より$y = \frac{25 - 4x}{3}$

円Kの方程式に代入して

$x^2 + (\frac{25 - 4x}{3})^2 - 8x - 6(\frac{25 - 4x}{3}) = 0$

$x^2 + \frac{625 - 200x + 16x^2}{9} - 8x - 50 + 8x = 0$

$9x^2 + 625 - 200x + 16x^2 - 450 = 0$

$25x^2 - 200x + 175 = 0$

$x^2 - 8x + 7 = 0$

$(x - 1)(x - 7) = 0$

$x = 1, 7$

$x = 1$のとき$y = \frac{25 - 4}{3} = 7$

$x = 7$のとき$y = \frac{25 - 28}{3} = -1$

よって、A(1, 7), B(7, -1)

(3) A(1, 7), B(7, -1)に対して、$\triangle ABD$が正三角形となるような点Dを第1象限にとる。

ABの中点Mの座標は$(\frac{1 + 7}{2}, \frac{7 - 1}{2}) = (4, 3)$

ABの長さは$\sqrt{(7 - 1)^2 + (-1 - 7)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$

正三角形の高さは$10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$

直線ABの傾きは$\frac{-1 - 7}{7 - 1} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$

直線ABに垂直で、中点M(4, 3)を通る直線の方程式は$y - 3 = \frac{3}{4}(x - 4)$

$y = \frac{3}{4}x$

DはMから距離$5\sqrt{3}$のところにあるので、

Dの座標を(x, y)とすると$(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = (5\sqrt{3})^2 = 75$

$y = \frac{3}{4}x$より、$(x - 4)^2 + (\frac{3}{4}x - 3)^2 = 75$

$(x - 4)^2 + \frac{9}{16}(x - 4)^2 = 75$

$\frac{25}{16}(x - 4)^2 = 75$

$(x - 4)^2 = 75 \times \frac{16}{25} = 3 \times 16 = 48$

$x - 4 = \pm \sqrt{48} = \pm 4\sqrt{3}$

$x = 4 \pm 4\sqrt{3}$

$x = 4 + 4\sqrt{3}$ (第1象限)

$y = \frac{3}{4}(4 + 4\sqrt{3}) = 3 + 3\sqrt{3}$

よって、Dの座標は$(4 + 4\sqrt{3}, 3 + 3\sqrt{3})$

3. 最終的な答え

(1) C(4, 3)、半径5

(2) l: $4x + 3y = 25$、A(1, 7)、B(7, -1)

(3) D($4 + 4\sqrt{3}$, $3 + 3\sqrt{3}$)