2次関数 $y = x^2 + x + m$ のグラフが $x$軸に接するとき、定数 $m$ の値を求め、そのときの接点の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 + x + m$ のグラフが $x$軸に接するとき、定数 $m$ の値を求め、そのときの接点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

2次関数のグラフが$x$軸に接するということは、2次方程式 $x^2 + x + m = 0$ が重解を持つということです。

2次方程式が重解を持つ条件は、判別式 $D$ が $D = 0$ となることです。

判別式 $D$ は、2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ に対して $D = b^2 - 4ac$ で与えられます。

この問題の場合、$a=1$, $b=1$, $c=m$ なので、

$D = 1^2 - 4(1)(m) = 1 - 4m$

$D = 0$ となる条件から、

$1 - 4m = 0$

$4m = 1$

$m = \frac{1}{4}$

したがって、$m = \frac{1}{4}$ のとき、$x^2 + x + \frac{1}{4} = 0$ は重解を持ちます。

$x^2 + x + \frac{1}{4} = (x + \frac{1}{2})^2 = 0$

$x = -\frac{1}{2}$

接点の$x$座標は$-\frac{1}{2}$で、$x$軸との接点なので$y$座標は$0$です。したがって、接点の座標は $(-\frac{1}{2}, 0)$ となります。

3. 最終的な答え

$m = \frac{1}{4}$

接点の座標: $(-\frac{1}{2}, 0)$