等式 $\tan^2\theta - \sin^2\theta = \tan^2\theta\sin^2\theta$ を証明する。

1. 問題の内容

等式 $\tan^2\theta - \sin^2\theta = \tan^2\theta\sin^2\theta$ を証明する。

2. 解き方の手順

左辺から右辺を導くことを試みます。

まず、$\tan^2\theta$ を $\frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}$ で置き換えます。

$$\tan^2\theta - \sin^2\theta = \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} - \sin^2\theta$$

次に、右辺を $\sin^2\theta$ でくくります。

$$\frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} - \sin^2\theta = \sin^2\theta\left(\frac{1}{\cos^2\theta} - 1\right)$$

$\frac{1}{\cos^2\theta} - 1$ を計算します。

$$\frac{1}{\cos^2\theta} - 1 = \frac{1 - \cos^2\theta}{\cos^2\theta}$$

三角関数の恒等式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ より、$1 - \cos^2\theta = \sin^2\theta$ となります。したがって、

$$\frac{1 - \cos^2\theta}{\cos^2\theta} = \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}$$

$\frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}$ は $\tan^2\theta$ に等しいので、

$$\frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} = \tan^2\theta$$

したがって、元の式は次のようになります。

$$\sin^2\theta\left(\frac{1}{\cos^2\theta} - 1\right) = \sin^2\theta \tan^2\theta = \tan^2\theta \sin^2\theta$$

これで、左辺は右辺と等しいことが証明されました。

3. 最終的な答え

$\tan^2\theta - \sin^2\theta = \tan^2\theta\sin^2\theta$