整数 $n$ に対して、「$n^2$ が奇数ならば、$n$ は奇数である」という命題を、対偶を利用して証明します。

1. 問題の内容

整数 $n$ に対して、「$n^2$ が奇数ならば、$n$ は奇数である」という命題を、対偶を利用して証明します。

2. 解き方の手順

対偶を利用して証明するため、まず元の命題の対偶を作ります。

元の命題は「$n^2$ が奇数ならば、$n$ は奇数である」なので、その対偶は「$n$ が偶数ならば、$n^2$ は偶数である」となります。

この対偶を証明します。

$n$ が偶数であると仮定すると、$n = 2k$ （$k$ は整数）と表せます。

このとき、$n^2$ は次のようになります。

$n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2)$

ここで、$2k^2$ は整数なので、$n^2$ は 2 の倍数であり、したがって $n^2$ は偶数です。

よって、「$n$ が偶数ならば、$n^2$ は偶数である」が証明されました。

元の命題の対偶が真であることから、元の命題「$n^2$ が奇数ならば、$n$ は奇数である」も真であるといえます。

3. 最終的な答え

したがって、$n^2$ が奇数ならば、$n$ は奇数である。