(1) 連立不等式 $\begin{cases} x^2 - 6x + 8 > 0 \\ x^2 + 2x - 15 \le 0 \end{cases}$ を解く。 (2) 不等式 $x^2 - 7 < |x-5|$ を解く。 (3) 不等式 $7x - 16 < x^2 - 3x + 7 \le 8x - 11$ を満たすすべての整数の和を求める。

1. 問題の内容

(1) 連立不等式

$\begin{cases} x^2 - 6x + 8 > 0 \\ x^2 + 2x - 15 \le 0 \end{cases}$

を解く。

(2) 不等式 $x^2 - 7 < |x-5|$ を解く。

(3) 不等式 $7x - 16 < x^2 - 3x + 7 \le 8x - 11$ を満たすすべての整数の和を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$x^2 - 6x + 8 > 0$ を解く。

$(x-2)(x-4) > 0$

よって、$x < 2$ または $x > 4$

次に、$x^2 + 2x - 15 \le 0$ を解く。

$(x+5)(x-3) \le 0$

よって、$-5 \le x \le 3$

したがって、連立不等式の解は、$-5 \le x < 2$ または $4 < x \le 3$

共通範囲を考えると$-5 \le x < 2$

(2)

$x^2 - 7 < |x-5|$ を解く。

場合分けをする。

(i) $x \ge 5$ のとき、

$x^2 - 7 < x - 5$

$x^2 - x - 2 < 0$

$(x-2)(x+1) < 0$

$-1 < x < 2$

これは、$x \ge 5$ を満たさないため、解なし。

(ii) $x < 5$ のとき、

$x^2 - 7 < -(x-5)$

$x^2 - 7 < -x + 5$

$x^2 + x - 12 < 0$

$(x+4)(x-3) < 0$

$-4 < x < 3$

これは、$x < 5$ を満たす。

したがって、解は $-4 < x < 3$

(3)

$7x - 16 < x^2 - 3x + 7 \le 8x - 11$ を解く。

まず、$7x - 16 < x^2 - 3x + 7$ を解く。

$0 < x^2 - 10x + 23$

$x^2 - 10x + 23 > 0$

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 23}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{8}}{2} = 5 \pm \sqrt{2}$

よって、$x < 5 - \sqrt{2}$ または $x > 5 + \sqrt{2}$

次に、$x^2 - 3x + 7 \le 8x - 11$ を解く。

$x^2 - 11x + 18 \le 0$

$(x-2)(x-9) \le 0$

よって、$2 \le x \le 9$

したがって、$x < 5 - \sqrt{2}$ または $x > 5 + \sqrt{2}$ と $2 \le x \le 9$ の共通範囲を求める。

$5 - \sqrt{2} \approx 5 - 1.414 = 3.586$

$5 + \sqrt{2} \approx 5 + 1.414 = 6.414$

共通範囲は、$2 \le x < 5 - \sqrt{2}$ または $5 + \sqrt{2} < x \le 9$

$2 \le x < 3.586$ または $6.414 < x \le 9$

これを満たす整数は、$2, 3, 7, 8, 9$

それらの和は、$2 + 3 + 7 + 8 + 9 = 29$

3. 最終的な答え

(1) $-5 \le x < 2$

(2) $-4 < x < 3$

(3) 29