$a$を定数とする。2次方程式 $x^2 - 2ax - a^2 + 2a = 0$ が実数解を持ち、かつ、すべての解が $0 \le x \le 2$ となるような $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

$a$を定数とする。2次方程式 $x^2 - 2ax - a^2 + 2a = 0$ が実数解を持ち、かつ、すべての解が $0 \le x \le 2$ となるような $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた2次方程式を解きます。

$x^2 - 2ax - a^2 + 2a = 0$

解の公式より

$x = \frac{2a \pm \sqrt{(2a)^2 - 4(-a^2 + 2a)}}{2} = \frac{2a \pm \sqrt{4a^2 + 4a^2 - 8a}}{2} = \frac{2a \pm \sqrt{8a^2 - 8a}}{2} = a \pm \sqrt{2a^2 - 2a} = a \pm \sqrt{2a(a-1)}$

実数解を持つ条件は、判別式 $D \ge 0$ より

$2a(a-1) \ge 0$

$a(a-1) \ge 0$

よって $a \le 0$ または $a \ge 1$

次に、すべての解が $0 \le x \le 2$ となる条件を考えます。

2つの解を $x_1 = a - \sqrt{2a^2 - 2a}$ と $x_2 = a + \sqrt{2a^2 - 2a}$ とします。

$x_1 \le x_2$ であることに注意します。

(i) $x_1 \ge 0$ かつ $x_2 \le 2$ のとき：

$a - \sqrt{2a^2 - 2a} \ge 0$ かつ $a + \sqrt{2a^2 - 2a} \le 2$

$a \ge \sqrt{2a^2 - 2a}$ かつ $\sqrt{2a^2 - 2a} \le 2 - a$

$a \ge 0$ かつ $a \le 2$ が必要です。

両辺を2乗します。

$a^2 \ge 2a^2 - 2a$ かつ $2a^2 - 2a \le 4 - 4a + a^2$

$0 \ge a^2 - 2a$ かつ $a^2 + 2a - 4 \le 0$

$a(a-2) \le 0$ かつ $a^2 + 2a - 4 \le 0$

$0 \le a \le 2$ かつ $-1 - \sqrt{5} \le a \le -1 + \sqrt{5}$

$a \le 0$ または $a \ge 1$ の条件と合わせると、

$1 \le a \le 2$ かつ $-1 - \sqrt{5} \le a \le -1 + \sqrt{5}$

$-1 + \sqrt{5} \approx -1 + 2.236 = 1.236$ より、

$1 \le a \le -1 + \sqrt{5}$

(ii) 解が1つのみの場合：

$2a(a-1) = 0$ より $a = 0, 1$ のとき。

$a = 0$ のとき $x = 0$

$a = 1$ のとき $x = 1$

したがって、これらの解は $0 \le x \le 2$ を満たします。

以上より、$a=0$ または $1 \le a \le -1 + \sqrt{5}$。

3. 最終的な答え

$a = 0$ または $1 \le a \le -1 + \sqrt{5}$