与えられた二次関数のグラフとx軸との共有点の座標を求める問題です。 具体的には、 (1) $y=x^2-2x-15$ (3) $y=3x^2+7x+1$ (4) $y=-x^2+8x-16$ の3つの二次関数について、それぞれグラフとx軸の共有点の座標を求めます。

1. 問題の内容

与えられた二次関数のグラフとx軸との共有点の座標を求める問題です。 具体的には、

(1) $y=x^2-2x-15$

(3) $y=3x^2+7x+1$

(4) $y=-x^2+8x-16$

の3つの二次関数について、それぞれグラフとx軸の共有点の座標を求めます。

2. 解き方の手順

二次関数のグラフとx軸との共有点は、$y=0$ となる $x$ の値を求めることで得られます。つまり、各二次関数について、$y=0$ とおいた二次方程式を解けばよいです。

(1) $y=x^2-2x-15$ の場合:

$x^2 - 2x - 15 = 0$

この二次方程式を因数分解すると、

$(x - 5)(x + 3) = 0$

したがって、$x = 5$ または $x = -3$。

共有点の座標は $(5, 0)$ と $(-3, 0)$。

(3) $y=3x^2+7x+1$ の場合:

$3x^2 + 7x + 1 = 0$

この二次方程式は因数分解できないため、解の公式を用います。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

ここで、$a = 3, b = 7, c = 1$ なので、

$x = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3} = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 12}}{6} = \frac{-7 \pm \sqrt{37}}{6}$

したがって、$x = \frac{-7 + \sqrt{37}}{6}$ または $x = \frac{-7 - \sqrt{37}}{6}$。

共有点の座標は $(\frac{-7 + \sqrt{37}}{6}, 0)$ と $(\frac{-7 - \sqrt{37}}{6}, 0)$。

(4) $y=-x^2+8x-16$ の場合:

$-x^2 + 8x - 16 = 0$

両辺に $-1$ をかけると、

$x^2 - 8x + 16 = 0$

この二次方程式を因数分解すると、

$(x - 4)^2 = 0$

したがって、$x = 4$ (重解)。

共有点の座標は $(4, 0)$。

3. 最終的な答え

(1) 共有点の座標：$(5, 0)$ と $(-3, 0)$

(3) 共有点の座標：$(\frac{-7 + \sqrt{37}}{6}, 0)$ と $(\frac{-7 - \sqrt{37}}{6}, 0)$

(4) 共有点の座標：$(4, 0)$