袋の中に赤玉3個、青玉2個、黄玉1個の合計6個の玉が入っている。机の上に赤、青、黄色の皿が1枚ずつ置かれている。袋から玉を1個ずつ3個取り出し、取り出した順にそれぞれの皿の上に置く。このとき、玉の色と皿の色が一致している皿の枚数をXとする。 (1) X=3となる確率を求めよ。 (2) X=2となる確率を求めよ。 (3) Xの期待値を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉3個、青玉2個、黄玉1個の合計6個の玉が入っている。机の上に赤、青、黄色の皿が1枚ずつ置かれている。袋から玉を1個ずつ3個取り出し、取り出した順にそれぞれの皿の上に置く。このとき、玉の色と皿の色が一致している皿の枚数をXとする。

(1) X=3となる確率を求めよ。

(2) X=2となる確率を求めよ。

(3) Xの期待値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) X=3となる確率は、3個の玉の色と皿の色が全て一致する場合である。これは、赤、青、黄の順に取り出す場合のみである。したがって、確率は

$P(X=3) = \frac{3}{6} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{6}{120} = \frac{1}{20}$

(2) X=2となる確率を求める。まず、3個の玉の取り出し方の総数は $6 \times 5 \times 4 = 120$通りである。

X=2となるのは、3個のうち2個の色が一致し、1個の色が一致しない場合である。

一致しない色の選び方は3通り(赤、青、黄)。

一致する2色の選び方は ${}_3C_2=3$ 通り

一致する色の並べ方は2通り。一致しない色の並べ方は3通り。

1. 1個だけが一致しないとき

(a) 1番目の色が一致しないとき: 皿の色順は赤、青、黄。1番目が赤以外なので、青か黄。

- 青の場合: 青、赤、黄の順で取り出す。確率は$\frac{2}{6} \times \frac{3}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{6}{120}$

- 黄の場合: 黄、赤、青の順で取り出す。確率は$\frac{1}{6} \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{120}$

(b) 2番目の色が一致しないとき: 赤、x, 黄。xは青以外なので、赤か黄。

- 赤の場合: 赤、赤、黄。確率は$\frac{3}{6} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{6}{120}$

- 黄の場合: 赤、黄、黄。確率は$\frac{3}{6} \times \frac{1}{5} \times \frac{0}{4} = 0$

(c) 3番目の色が一致しないとき: 赤、青、x。xは黄以外なので、赤か青。

- 赤の場合: 赤、青、赤。確率は$\frac{3}{6} \times \frac{2}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{12}{120}$

- 青の場合: 赤、青、青。確率は$\frac{3}{6} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{6}{120}$

上記をまとめると、

$P(X=2) = \frac{6+6+6+12+6}{120} = \frac{36}{120} = \frac{3}{10}$

(3) Xの期待値を求める。

Xの値は0, 1, 2, 3を取りうる。

X=3の確率が$\frac{1}{20}$、X=2の確率が$\frac{3}{10}$。

X=1となる確率を計算する。$P(X=1) = 1 - P(X=3) - P(X=2) - P(X=0)$

X=0となる確率は、赤青黄のいずれの色も一致しない場合。

取り出す色の組み合わせは(青, 黄, 赤), (青, 赤, 赤),(黄, 青, 赤), (黄, 赤, 赤)。

X=0となるのは、(青, 黄, 赤)の順、(青, 赤, 赤)の順,　(黄, 青, 赤)の順、(黄, 赤, 赤)の順しかない。この場合、確率は0になる。

X=1となる確率を求める。

$P(X=1) = 1 - P(X=3) - P(X=2) = 1 - \frac{1}{20} - \frac{3}{10} = \frac{20 - 1 - 6}{20} = \frac{13}{20}$

$E(X) = 0 \times P(X=0) + 1 \times P(X=1) + 2 \times P(X=2) + 3 \times P(X=3)$

$E(X) = 0 + 1 \times \frac{13}{20} + 2 \times \frac{3}{10} + 3 \times \frac{1}{20} = \frac{13}{20} + \frac{12}{20} + \frac{3}{20} = \frac{28}{20} = \frac{7}{5}$

3. 最終的な答え

(1) X=3となる確率: $\frac{1}{20}$

(2) X=2となる確率: $\frac{3}{10}$

(3) Xの期待値: $\frac{7}{5}$