袋の中に赤玉3個、青玉2個、黄玉1個が入っている。3つの皿（赤、青、黄）があり、袋から取り出した玉を対応する色の皿の上に置く。$X$ は玉の色と皿の色が一致する皿の数とする。 (1) $X=3$ となる確率を求めよ。 (2) $X=2$ となる確率を求めよ。 (3) $X$ の期待値を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉3個、青玉2個、黄玉1個が入っている。3つの皿（赤、青、黄）があり、袋から取り出した玉を対応する色の皿の上に置く。$X$ は玉の色と皿の色が一致する皿の数とする。

(1) $X=3$ となる確率を求めよ。

(2) $X=2$ となる確率を求めよ。

(3) $X$ の期待値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $X=3$ となるのは、取り出した玉の色が、赤、青、黄の順に一致する場合のみです。

確率は、

$P(X=3) = \frac{3}{6} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{6}{120} = \frac{1}{20}$

(2) $X=2$ となる場合を考えます。

3つの皿のうち2つが一致し、1つが一致しない場合です。

一致しない皿が赤の場合：青、黄の順に一致し、赤が一致しない。

$\frac{2}{6} \times \frac{1}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{120}$

一致しない皿が青の場合：赤、黄の順に一致し、青が一致しない。

$\frac{3}{6} \times \frac{1}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{120}$

一致しない皿が黄の場合：赤、青の順に一致し、黄が一致しない。

$\frac{3}{6} \times \frac{2}{5} \times \frac{0}{4} = 0$

したがって、$X=2$となる確率は、

$P(X=2) = \frac{6}{120} + \frac{6}{120} + 0 = \frac{12}{120} = \frac{1}{10}$

(3) $X$ の取りうる値は、$X=0, 1, 2, 3$ です。

$X=0$ となる確率は、$1 - P(X=1) - P(X=2) - P(X=3)$ によって計算できます。

$X=1$となる場合を考えます。

一致する皿が赤の場合：赤の玉の色が一致し、青、黄の色は一致しない。

赤が最初 -> (3/6)*(3/5)*(3/4) = 27/120

赤が2番 -> (3/6)*(3/5)*(3/4) = 27/120

赤が3番 -> (3/6)*(3/5)*(3/4) = 27/120

一致する皿が青の場合：青の玉の色が一致し、赤、黄の色は一致しない。

青が最初 -> (2/6)*(4/5)*(3/4) = 24/120

青が2番 -> (4/6)*(2/5)*(3/4) = 24/120

青が3番 -> (4/6)*(3/5)*(2/4) = 24/120

一致する皿が黄の場合：黄の玉の色が一致し、赤、青の色は一致しない。

黄が最初 -> (1/6)*(3/5)*(2/4) = 6/120

黄が2番 -> (3/6)*(1/5)*(2/4) = 6/120

黄が3番 -> (3/6)*(2/5)*(1/4) = 6/120

合計して計算し直します。

赤、青、黄の玉をそれぞれa,b,c個取り出す組み合わせの数です。a+b+c=3です。

a=3は 1通り, a=2,b=1は 3通り, a=2,c=1は 3通り, a=1,b=2は 3通り, a=1,b=1,c=1は 6通り, a=1,c=2は 3通り, b=3は 1通り, b=2,c=1は 3通り, b=1,c=2は 3通り, c=3は 1通り

$P(X=0) = \frac{3}{6} \times \frac{2}{5} \times \frac{0}{4} = 0$

すべての組み合わせ6C3 = 6!/(3!3!) = (6*5*4)/(3*2*1) = 20通り

X=0の時 赤,青,黄をそれぞれ取り出す順番が異なる場合を考えます。

$\frac{1}{20}$

X=1の時

$\frac{3}{6} \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} + \frac{3}{6} \times \frac{2}{5} \times \frac{3}{4}$

X=2の時

$\frac{2}{6} \times \frac{1}{5} \times \frac{3}{4}$

X=3の時

$\frac{1}{20}$

$E[X] = 0 \times P(X=0) + 1 \times P(X=1) + 2 \times P(X=2) + 3 \times P(X=3)$

$X=0$となる確率は、各色で玉が取り出されないようにします。この確率はゼロです。

$P(X=0)=0$

$P(X=1)=7/10, E[X]=35/20=1.75$

$E[X] = \sum_{i=1}^{3} E[I_i] = \sum_{i=1}^{3} P(I_i=1)$.

$E[X] = 1/2+1/3+1/6=1.$

3. 最終的な答え

(1) $X=3$ となる確率: $\frac{1}{20}$

(2) $X=2$ となる確率: $\frac{1}{10}$

(3) $X$ の期待値: $1$