長さ32cmの針金を折り曲げて長方形を作り、その面積を最大にするには、どのように折り曲げればよいか。ただし、長方形のたてとよこの長さの和は16cmである。

1. 問題の内容

長さ32cmの針金を折り曲げて長方形を作り、その面積を最大にするには、どのように折り曲げればよいか。ただし、長方形のたてとよこの長さの和は16cmである。

2. 解き方の手順

* 長方形のたての長さを $x$ cmとすると、よこの長さは $16-x$ cmとなる。

* たてとよこの長さは正の数であるから、$x > 0$ かつ $16 - x > 0$ より、$0 < x < 16$ という条件が導かれる。

* 長方形の面積を $y$ cm$^2$ とすると、$y = x(16 - x)$ と表せる。

* $y = x(16 - x) = -x^2 + 16x = -(x^2 - 16x) = -(x^2 - 16x + 64 - 64) = -(x - 8)^2 + 64$

* $0 < x < 16$ の範囲において、$y$ は $x=8$ のとき最大値64をとる。

* このとき、よこの長さは $16 - x = 16 - 8 = 8$ (cm) となる。

* たてとよこの長さが等しいので、これは正方形である。

* よって、1辺の長さが8cmの正方形になるように針金を折り曲げればよい。

3. 最終的な答え

$x=8$ で最大値64をとる。

$16-x = 16-8 = 8$ (cm)

1辺の長さが8cmの正方形になるように針金を折り曲げればよい。