与えられた複素数の式を簡略化する問題です。問題の式は次の通りです。 $\frac{1}{2} \left[ \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) \right] \cdot 2 (\cos\theta + i \sin\theta)$

1. 問題の内容

与えられた複素数の式を簡略化する問題です。問題の式は次の通りです。

$\frac{1}{2} \left[ \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) \right] \cdot 2 (\cos\theta + i \sin\theta)$

2. 解き方の手順

まず、式の定数部分を簡略化します。

$\frac{1}{2} \cdot 2 = 1$

したがって、式は次のようになります。

$\left[ \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) \right] (\cos\theta + i \sin\theta)$

次に、三角関数の性質を利用して、$\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)$ と $\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)$ の値を求めます。

$\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$

$\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、式は次のようになります。

$\left[ \frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2} \right] (\cos\theta + i \sin\theta)$

複素数の積の公式を利用します。

$(\cos a + i \sin a)(\cos b + i \sin b) = \cos(a+b) + i \sin(a+b)$

この公式から、

$\left[\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right] (\cos\theta + i \sin\theta) = \cos\left(-\frac{\pi}{3}+\theta\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{3}+\theta\right)$

したがって、求める式は

$\cos\left(\theta - \frac{\pi}{3}\right) + i \sin\left(\theta - \frac{\pi}{3}\right)$

3. 最終的な答え

$\cos\left(\theta - \frac{\pi}{3}\right) + i \sin\left(\theta - \frac{\pi}{3}\right)$

または

$\cos(\theta - \frac{\pi}{3}) + i\sin(\theta - \frac{\pi}{3})$