12mの金網を2か所折り曲げて壁につけ、長方形の囲いを作る。囲いの面積を最大にするには、壁に垂直な部分の長さを何mにすればよいか。

1. 問題の内容

12mの金網を2か所折り曲げて壁につけ、長方形の囲いを作る。囲いの面積を最大にするには、壁に垂直な部分の長さを何mにすればよいか。

2. 解き方の手順

壁に垂直な部分の長さを $x$ (m) とすると、壁に平行な部分の長さは $12 - 2x$ (m) となる。

囲いの面積 $S$ は、

$S = x(12 - 2x) = 12x - 2x^2$

となる。

面積 $S$ を最大にする $x$ を求めるために、$S$ を $x$ で微分する。

$\frac{dS}{dx} = 12 - 4x$

$\frac{dS}{dx} = 0$ となる $x$ を求める。

$12 - 4x = 0$

$4x = 12$

$x = 3$

次に、$x = 3$ のとき、$S$ が最大となることを確認するために、$S$ の2階微分を計算する。

$\frac{d^2S}{dx^2} = -4$

$\frac{d^2S}{dx^2} < 0$ より、$x = 3$ のとき、$S$ は最大となる。

したがって、壁に垂直な部分の長さを3mにすればよい。

3. 最終的な答え

3 m