2次関数の最大値と最小値を求める問題です。具体的には、 (1) $y = (x-4)^2 - 3$ (2) $y = -2x^2 + 12x - 16$ の最大値と最小値を求めます。また、別の問題で定義域が指定された場合での2次関数の最大値、最小値を求める問題もあります。 (1) $y = -2(x-1)^2 + 5$, $-1 \le x \le 2$ (2) $y = x^2 + 10x + 20$, $-6 \le x \le -4$

1. 問題の内容

2次関数の最大値と最小値を求める問題です。具体的には、

(1) $y = (x-4)^2 - 3$

(2) $y = -2x^2 + 12x - 16$

の最大値と最小値を求めます。また、別の問題で定義域が指定された場合での2次関数の最大値、最小値を求める問題もあります。

(1) $y = -2(x-1)^2 + 5$, $-1 \le x \le 2$

(2) $y = x^2 + 10x + 20$, $-6 \le x \le -4$

2. 解き方の手順

(1) $y = (x-4)^2 - 3$

これは平方完成された形なので、頂点は $(4, -3)$ です。 $x$ の係数が正なので下に凸のグラフになり、頂点で最小値をとります。最大値は存在しません。

(2) $y = -2x^2 + 12x - 16$

平方完成を行います。

$y = -2(x^2 - 6x) - 16$

$y = -2(x^2 - 6x + 9 - 9) - 16$

$y = -2((x-3)^2 - 9) - 16$

$y = -2(x-3)^2 + 18 - 16$

$y = -2(x-3)^2 + 2$

頂点は $(3, 2)$ です。 $x^2$ の係数が負なので上に凸のグラフになり、頂点で最大値をとります。最小値は存在しません。

別の問題

(1) $y = -2(x-1)^2 + 5$, $-1 \le x \le 2$

これは平方完成された形なので、頂点は $(1, 5)$ です。 $x^2$ の係数が負なので上に凸のグラフです。定義域 $-1 \le x \le 2$ の範囲での最大値と最小値を考えます。

$x=1$ のとき、$y = 5$ (最大値)

$x=-1$ のとき、$y = -2(-1-1)^2 + 5 = -2(-2)^2 + 5 = -8 + 5 = -3$

$x=2$ のとき、$y = -2(2-1)^2 + 5 = -2(1)^2 + 5 = -2 + 5 = 3$

よって、$x = 1$ のとき最大値 $5$ をとり、$x = -1$ のとき最小値 $-3$ をとります。

(2) $y = x^2 + 10x + 20$, $-6 \le x \le -4$

平方完成を行います。

$y = x^2 + 10x + 25 - 25 + 20$

$y = (x+5)^2 - 5$

頂点は $(-5, -5)$ です。 $x^2$ の係数が正なので下に凸のグラフです。定義域 $-6 \le x \le -4$ の範囲での最大値と最小値を考えます。

$x=-5$ のとき、$y = -5$ (最小値)

$x=-6$ のとき、$y = (-6+5)^2 - 5 = (-1)^2 - 5 = 1 - 5 = -4$

$x=-4$ のとき、$y = (-4+5)^2 - 5 = (1)^2 - 5 = 1 - 5 = -4$

よって、$x = -5$ のとき最小値 $-5$ をとり、$x = -6$ および $x = -4$ のとき最大値 $-4$ をとります。

3. 最終的な答え

111

(1) 最小値: $-3$ (x=4のとき)、最大値: なし

(2) 最大値: $2$ (x=3のとき)、最小値: なし

112

(1) 最大値: $5$ (x=1のとき)、最小値: $-3$ (x=-1のとき)

(2) 最大値: $-4$ (x=-6,-4のとき)、最小値: $-5$ (x=-5のとき)