与えられた数式の総和を計算します。数式は $\sum_{k=1}^{2n} (k-1)$ です。

1. 問題の内容

与えられた数式の総和を計算します。数式は $\sum_{k=1}^{2n} (k-1)$ です。

2. 解き方の手順

まず、シグマの中身を展開します。

$\sum_{k=1}^{2n} (k-1) = \sum_{k=1}^{2n} k - \sum_{k=1}^{2n} 1$

次に、$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ の公式を利用します。この公式を適用すると、$\sum_{k=1}^{2n} k = \frac{2n(2n+1)}{2}$ となります。

また、$\sum_{k=1}^{2n} 1 = 2n$ です。

したがって、

$\sum_{k=1}^{2n} (k-1) = \frac{2n(2n+1)}{2} - 2n = n(2n+1) - 2n = 2n^2 + n - 2n = 2n^2 - n$

3. 最終的な答え

$2n^2 - n$