$\sqrt{28 - 12\sqrt{5}}$ を簡単にせよ。

1. 問題の内容

$\sqrt{28 - 12\sqrt{5}}$ を簡単にせよ。

2. 解き方の手順

まず、$12\sqrt{5}$ を $2\sqrt{ab}$ の形に変形します。

$12\sqrt{5} = 2 \cdot 6\sqrt{5} = 2 \sqrt{36 \cdot 5} = 2 \sqrt{180}$

したがって、

$\sqrt{28 - 12\sqrt{5}} = \sqrt{28 - 2\sqrt{180}}$

次に、$a+b = 28$ かつ $ab = 180$ となる $a$ と $b$ を探します。

$a$ と $b$ は、二次方程式 $x^2 - 28x + 180 = 0$ の解となります。

これを解くと、

$(x-10)(x-18) = 0$

したがって、$x = 10, 18$

よって、$a = 18, b = 10$ とします。

$\sqrt{28 - 2\sqrt{180}} = \sqrt{18} - \sqrt{10} = 3\sqrt{2} - \sqrt{10}$

ただし、$\sqrt{a+b - 2\sqrt{ab}} = |\sqrt{a} - \sqrt{b}|$ であることに注意する必要がある。

この場合、$a > b$ となるように選ぶと、$a = 18, b = 10$ とすることで正しくなる。

$28 - 12\sqrt{5} = 28 - 2\sqrt{36 \cdot 5} = 28 - 2\sqrt{180}$

$18+10 = 28$, $18 \times 10 = 180$ なので、

$\sqrt{28 - 12\sqrt{5}} = \sqrt{18} - \sqrt{10} = 3\sqrt{2} - \sqrt{10}$

3. 最終的な答え

$3\sqrt{2} - \sqrt{10}$