3次方程式 $x^3 - 6x + 3 = 0$ は実数解をいくつ持つかを求める問題です。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 6x + 3 = 0$ は実数解をいくつ持つかを求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた3次方程式を $f(x) = x^3 - 6x + 3$ とおきます。

実数解の個数を調べるために、$f(x)$ の増減を調べます。

まず、$f(x)$ を微分します。

$f'(x) = 3x^2 - 6$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x^2 - 6 = 0$

$3x^2 = 6$

$x^2 = 2$

$x = \pm \sqrt{2}$

$x = \sqrt{2}$ と $x = -\sqrt{2}$ が極値を取る点です。

次に、$f(x)$ の増減表を作ります。

$x < -\sqrt{2}$ のとき、$f'(x) > 0$ なので、$f(x)$ は増加します。

$x = -\sqrt{2}$ のとき、$f(x)$ は極大値を取ります。

$-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ のとき、$f'(x) < 0$ なので、$f(x)$ は減少します。

$x = \sqrt{2}$ のとき、$f(x)$ は極小値を取ります。

$x > \sqrt{2}$ のとき、$f'(x) > 0$ なので、$f(x)$ は増加します。

極大値を計算します。

$f(-\sqrt{2}) = (-\sqrt{2})^3 - 6(-\sqrt{2}) + 3 = -2\sqrt{2} + 6\sqrt{2} + 3 = 4\sqrt{2} + 3$

$4\sqrt{2} + 3 > 0$ なので、$x = -\sqrt{2}$ での極大値は正の値です。

極小値を計算します。

$f(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^3 - 6(\sqrt{2}) + 3 = 2\sqrt{2} - 6\sqrt{2} + 3 = -4\sqrt{2} + 3$

$-4\sqrt{2} + 3 < 0$ なので、$x = \sqrt{2}$ での極小値は負の値です。

$f(x)$ は $x = -\sqrt{2}$ で正の極大値をとり、$x = \sqrt{2}$ で負の極小値を取るため、3つの実数解を持ちます。

$x \to -\infty$ のとき $f(x) \to -\infty$

$x \to \infty$ のとき $f(x) \to \infty$

3. 最終的な答え

3次方程式 $x^3 - 6x + 3 = 0$ は実数解を3個持つ。