次の4つの2次関数の最大値と最小値を、与えられた定義域で求め、そのときの $x$ の値を求める。 (1) $y=2x^2+4x-1$ ($-3 \le x \le 0$) (2) $y=-3x^2+2x+10$ ($0 \le x \le 2$) (3) $y=3x^2+18x-5$ ($-2 \le x \le 1$) (4) $y=-x^2+x-1$ ($-3 \le x \le -1$)

1. 問題の内容

次の4つの2次関数の最大値と最小値を、与えられた定義域で求め、そのときの $x$ の値を求める。

(1) $y=2x^2+4x-1$ ($-3 \le x \le 0$)

(2) $y=-3x^2+2x+10$ ($0 \le x \le 2$)

(3) $y=3x^2+18x-5$ ($-2 \le x \le 1$)

(4) $y=-x^2+x-1$ ($-3 \le x \le -1$)

2. 解き方の手順

(1) $y=2x^2+4x-1 = 2(x^2+2x)-1 = 2(x^2+2x+1-1)-1 = 2(x+1)^2-2-1 = 2(x+1)^2-3$

軸は $x=-1$。定義域 $-3 \le x \le 0$ に含まれる。

$x=-1$ のとき、最小値 $y=-3$

$x=-3$ のとき、 $y=2(-3+1)^2-3=2(-2)^2-3=8-3=5$

$x=0$ のとき、 $y=2(0+1)^2-3=2(1)^2-3=2-3=-1$

よって、最大値 $5$ ($x=-3$のとき)。

(2) $y=-3x^2+2x+10 = -3(x^2-\frac{2}{3}x)+10 = -3(x^2-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}-\frac{1}{9})+10 = -3(x-\frac{1}{3})^2+\frac{1}{3}+10 = -3(x-\frac{1}{3})^2+\frac{31}{3}$

軸は $x=\frac{1}{3}$。定義域 $0 \le x \le 2$ に含まれる。

$x=\frac{1}{3}$ のとき、最大値 $y=\frac{31}{3}$

$x=0$ のとき、 $y=-3(0)^2+2(0)+10=10$

$x=2$ のとき、 $y=-3(2)^2+2(2)+10=-12+4+10=2$

よって、最小値 $2$ ($x=2$のとき)。

(3) $y=3x^2+18x-5 = 3(x^2+6x)-5 = 3(x^2+6x+9-9)-5 = 3(x+3)^2-27-5 = 3(x+3)^2-32$

軸は $x=-3$。定義域 $-2 \le x \le 1$ に含まれない。

$x=-2$ のとき、 $y=3(-2+3)^2-32=3(1)^2-32=3-32=-29$

$x=1$ のとき、 $y=3(1+3)^2-32=3(4)^2-32=48-32=16$

よって、最大値 $16$ ($x=1$のとき)、最小値 $-29$ ($x=-2$のとき)。

(4) $y=-x^2+x-1 = -(x^2-x)-1 = -(x^2-x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4})-1 = -(x-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{4}-1 = -(x-\frac{1}{2})^2-\frac{3}{4}$

軸は $x=\frac{1}{2}$。定義域 $-3 \le x \le -1$ に含まれない。

$x=-3$ のとき、 $y=-(-3)^2+(-3)-1 = -9-3-1=-13$

$x=-1$ のとき、 $y=-(-1)^2+(-1)-1 = -1-1-1=-3$

よって、最大値 $-3$ ($x=-1$のとき)、最小値 $-13$ ($x=-3$のとき)。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: $5$ ($x=-3$のとき)、最小値: $-3$ ($x=-1$のとき)

(2) 最大値: $\frac{31}{3}$ ($x=\frac{1}{3}$のとき)、最小値: $2$ ($x=2$のとき)

(3) 最大値: $16$ ($x=1$のとき)、最小値: $-29$ ($x=-2$のとき)

(4) 最大値: $-3$ ($x=-1$のとき)、最小値: $-13$ ($x=-3$のとき)