2次関数 $f(x) = x^2 - 2(2a^2 - 5a)x + 10a^4 - 20a^3 + 34a^2 + 5$ について、以下の問題を解く。 (1) $y=f(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表す。 (2) $a$ が実数全体を動くとき、頂点の $x$ 座標の最小値を求める。 (3) $t = a^2$ とおくと、頂点の $y$ 座標を $t$ を用いて表す。 (4) $a$ が実数全体を動くとき、頂点の $y$ 座標の最小値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - 2(2a^2 - 5a)x + 10a^4 - 20a^3 + 34a^2 + 5$ について、以下の問題を解く。

(1) $y=f(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表す。

(2) $a$ が実数全体を動くとき、頂点の $x$ 座標の最小値を求める。

(3) $t = a^2$ とおくと、頂点の $y$ 座標を $t$ を用いて表す。

(4) $a$ が実数全体を動くとき、頂点の $y$ 座標の最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 頂点の座標を求める。

まず、2次関数を平方完成する。

$f(x) = x^2 - 2(2a^2 - 5a)x + 10a^4 - 20a^3 + 34a^2 + 5$

$f(x) = \{x - (2a^2 - 5a)\}^2 - (2a^2 - 5a)^2 + 10a^4 - 20a^3 + 34a^2 + 5$

$f(x) = \{x - (2a^2 - 5a)\}^2 - (4a^4 - 20a^3 + 25a^2) + 10a^4 - 20a^3 + 34a^2 + 5$

$f(x) = \{x - (2a^2 - 5a)\}^2 + 6a^4 + 9a^2 + 5$

したがって、頂点の座標は $(2a^2 - 5a, 6a^4 + 9a^2 + 5)$ である。

(2) 頂点の $x$ 座標の最小値を求める。

頂点の $x$ 座標は $2a^2 - 5a$ である。これを $g(a)$ とおくと、

$g(a) = 2a^2 - 5a = 2(a^2 - \frac{5}{2}a) = 2(a - \frac{5}{4})^2 - 2(\frac{25}{16}) = 2(a - \frac{5}{4})^2 - \frac{25}{8}$

$a = \frac{5}{4}$ のとき、最小値 $-\frac{25}{8}$ をとる。

(3) 頂点の $y$ 座標を $t = a^2$ で表す。

頂点の $y$ 座標は $6a^4 + 9a^2 + 5$ である。$t = a^2$ とおくと、

$6a^4 + 9a^2 + 5 = 6(a^2)^2 + 9(a^2) + 5 = 6t^2 + 9t + 5$

(4) 頂点の $y$ 座標の最小値を求める。

頂点の $y$ 座標は $6t^2 + 9t + 5$ である。$t = a^2 \geq 0$ に注意して、最小値を求める。

$h(t) = 6t^2 + 9t + 5 = 6(t^2 + \frac{3}{2}t) + 5 = 6(t + \frac{3}{4})^2 - 6(\frac{9}{16}) + 5 = 6(t + \frac{3}{4})^2 - \frac{54}{16} + \frac{80}{16} = 6(t + \frac{3}{4})^2 + \frac{26}{16} = 6(t + \frac{3}{4})^2 + \frac{13}{8}$

$t = -\frac{3}{4}$ のとき、最小値 $\frac{13}{8}$ をとるが、$t \geq 0$ より、$t=0$のとき最小値となる。

$h(0) = 6(0)^2 + 9(0) + 5 = 5$

したがって、頂点の $y$ 座標の最小値は 5 である。

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 5

ウ: 6

エ: 9

オ: 5

カキク/ケ: -25/8

コ: 5