2次関数 $f(x) = x^2 - 2(2a^2 - 5a)x + 10a^4 - 20a^2 + 34a^2 + 5$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) $y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を求める。 (2) $a$ が実数全体を動くとき、頂点のx座標の最小値を求める。 (3) $t = a^2$ とおくと、頂点のy座標を $t$ で表す。 (4) $a$ が実数全体を動くとき、頂点のy座標の最小値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - 2(2a^2 - 5a)x + 10a^4 - 20a^2 + 34a^2 + 5$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) $y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を求める。

(2) $a$ が実数全体を動くとき、頂点のx座標の最小値を求める。

(3) $t = a^2$ とおくと、頂点のy座標を $t$ で表す。

(4) $a$ が実数全体を動くとき、頂点のy座標の最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 頂点の座標を求めるために、平方完成を行います。

$f(x) = x^2 - 2(2a^2 - 5a)x + 10a^4 - 20a^2 + 34a^2 + 5$

$f(x) = (x - (2a^2 - 5a))^2 - (2a^2 - 5a)^2 + 10a^4 - 20a^2 + 34a^2 + 5$

$f(x) = (x - (2a^2 - 5a))^2 - (4a^4 - 20a^3 + 25a^2) + 10a^4 - 20a^2 + 34a^2 + 5$

$f(x) = (x - (2a^2 - 5a))^2 + 6a^4 + 20a^3 + 9a^2 + 5$

よって、頂点の座標は $(2a^2 - 5a, 6a^4 + 20a^3 + 9a^2 + 5)$

(2) 頂点のx座標 $2a^2 - 5a$ の最小値を求めます。

$2a^2 - 5a = 2(a^2 - \frac{5}{2}a) = 2(a - \frac{5}{4})^2 - 2(\frac{25}{16}) = 2(a - \frac{5}{4})^2 - \frac{25}{8}$

$a = \frac{5}{4}$ のとき最小値 $-\frac{25}{8}$ を取ります。

(3) 頂点のy座標 $6a^4 + 20a^3 + 9a^2 + 5$ について、 $t = a^2$ とおくと、$a = \pm \sqrt{t}$ なので、

$6t^2 + 20a t + 9t + 5$

$6t^2 + 20 (\pm \sqrt{t}) t + 9t + 5$ は $t = a^2$ とおくことができない。

頂点のy座標は $6a^4 + 20a^3 + 9a^2 + 5$ です。ここで $t = a^2$ とおくと、

$6t^2 + 20a t + 9t + 5$ となります。この表記では $a$ が残るので、問題文の意図と異なる可能性があります。

平方完成のミスがないか確認してみる。

$f(x) = x^2 - 2(2a^2-5a)x + 10a^4 - 20a^2 + 34a^2 + 5$

$f(x) = (x - (2a^2-5a))^2 - (2a^2-5a)^2 + 10a^4 - 20a^2 + 34a^2 + 5$

$f(x) = (x - (2a^2-5a))^2 - (4a^4-20a^3+25a^2) + 10a^4 - 20a^2 + 34a^2 + 5$

$f(x) = (x - (2a^2-5a))^2 + 6a^4 + 20a^3 + 9a^2 + 5$

$a^2 = t$ より

$6t^2 + 20\sqrt{t}t + 9t + 5$

$t=a^2$ より $a = \pm \sqrt{t}$ である。

しかし$a$は実数全体を動くので, 正負の符号を考慮する必要はない. $a = \sqrt{t}$ とする。

$6t^2 + 20\sqrt{t}t + 9t + 5$ となる。しかし, これでは2次式にならないので,

問題文に誤りがあるかもしれない。

問題をもう一度確認すると、$10a^4 - 20a^2 + 34a^2 + 5$ が $10a^4 - 20a^3 + 34a^2 + 5$ であるとすると、

$f(x) = x^2 - 2(2a^2 - 5a)x + 10a^4 - 20a^3 + 34a^2 + 5$

$f(x) = (x - (2a^2-5a))^2 - (2a^2-5a)^2 + 10a^4 - 20a^3 + 34a^2 + 5$

$f(x) = (x - (2a^2-5a))^2 - (4a^4 - 20a^3 + 25a^2) + 10a^4 - 20a^3 + 34a^2 + 5$

$f(x) = (x - (2a^2-5a))^2 + 6a^4 + 9a^2 + 5$

よって、頂点の座標は $(2a^2 - 5a, 6a^4 + 9a^2 + 5)$

$t=a^2$ とすると、$6t^2 + 9t + 5$ となります。

(4) $6t^2 + 9t + 5 = 6(t^2 + \frac{3}{2}t) + 5 = 6(t + \frac{3}{4})^2 - 6(\frac{9}{16}) + 5 = 6(t + \frac{3}{4})^2 - \frac{27}{8} + \frac{40}{8} = 6(t + \frac{3}{4})^2 + \frac{13}{8}$

$t \geq 0$ より $t = 0$ のとき最小値5をとります。

3. 最終的な答え

ア: 2, イ: 5, ウ: 6, エ: 9, オ: 5

カキク: -25/8

ウ: 6, エ: 9, オ: 5

コ: 5