2次関数の平行移動に関する問題です。 関数 $y=x^2$ のグラフを、2点 $(c, 0)$, $(c+4, 0)$ を通るように平行移動して得られるグラフを $G$ とします。$G$ をグラフにもつ2次関数を $c$ を用いて表し、さらに $G$ が点 $(3, -1)$ を通るとき、$G$ が $y=x^2$ のグラフをどのように平行移動したかを求めます。ここで $2 \le c \le 3$ を満たします。

1. 問題の内容

2次関数の平行移動に関する問題です。

関数 $y=x^2$ のグラフを、2点 $(c, 0)$, $(c+4, 0)$ を通るように平行移動して得られるグラフを $G$ とします。$G$ をグラフにもつ2次関数を $c$ を用いて表し、さらに $G$ が点 $(3, -1)$ を通るとき、$G$ が $y=x^2$ のグラフをどのように平行移動したかを求めます。ここで $2 \le c \le 3$ を満たします。

2. 解き方の手順

まず、2点 $(c, 0)$ と $(c+4, 0)$ を通るような2次関数 $G$ を考えます。軸は $x = \frac{c + (c+4)}{2} = c+2$ です。

したがって、$G$ の式は、ある定数 $a$ を用いて $y = a(x-c)(x-(c+4))$ と表せます。

この式を展開すると、$y = a(x^2 - (2c+4)x + c(c+4))$ となります。

$y = x^2$ のグラフを平行移動したものであることから、$x^2$ の係数は $1$ なので、$a=1$ です。

よって、$G$ の式は $y = x^2 - (2c+4)x + c(c+4)$ と表せます。

次に、グラフ $G$ が点 $(3, -1)$ を通るという条件から、$c$ の値を求めます。

$x=3$, $y=-1$ を $G$ の式に代入すると、

$-1 = 3^2 - (2c+4) \cdot 3 + c(c+4)$

$-1 = 9 - 6c - 12 + c^2 + 4c$

$-1 = c^2 - 2c - 3$

$c^2 - 2c - 2 = 0$

これを解くと、$c = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(-2)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$ となります。

$2 \le c \le 3$ という条件から、$c = 1 + \sqrt{3}$ です。

$y=x^2 - (2c+4)x + c(c+4)$ を平方完成します。

$y = (x - (c+2))^2 - (c+2)^2 + c(c+4)$

$y = (x - (c+2))^2 - (c^2 + 4c + 4) + c^2 + 4c$

$y = (x - (c+2))^2 - 4$

よって、グラフ $G$ は $y = x^2$ のグラフを $x$ 軸方向に $c+2$, $y$ 軸方向に $-4$ だけ平行移動したものです。

$c = 1 + \sqrt{3}$ なので、$x$ 軸方向への移動量は $1 + \sqrt{3} + 2 = 3 + \sqrt{3}$ です。

ア: 4

イ: 4

ウ: 3

エ: 3

オカ: -4

3. 最終的な答え

ア: 4

イ: 4

ウ: 3

エ: 3

オカ: -4