問題文は、集合 $A$ と集合 $B$ のべき集合をそれぞれ $\mathcal{P}(A)$ と $\mathcal{P}(B)$ とするとき、次の2つの命題の真偽を判定し、真であれば証明し、偽であれば反例を挙げることを求めています。 (1) $\mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B) = \mathcal{P}(A \cup B)$ (2) $\mathcal{P}(A) \cap \mathcal{P}(B) = \mathcal{P}(A \cap B)$

1. 問題の内容

問題文は、集合 $A$ と集合 $B$ のべき集合をそれぞれ $\mathcal{P}(A)$ と $\mathcal{P}(B)$ とするとき、次の2つの命題の真偽を判定し、真であれば証明し、偽であれば反例を挙げることを求めています。

(1) $\mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B) = \mathcal{P}(A \cup B)$

(2) $\mathcal{P}(A) \cap \mathcal{P}(B) = \mathcal{P}(A \cap B)$

2. 解き方の手順

(1) $\mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B) = \mathcal{P}(A \cup B)$ について

この命題は一般には成り立ちません。反例を挙げます。

$A = \{1\}$、 $B = \{2\}$ とします。

このとき、

$\mathcal{P}(A) = \{\emptyset, \{1\}\}$

$\mathcal{P}(B) = \{\emptyset, \{2\}\}$

$\mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B) = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}\}$

一方、

$A \cup B = \{1, 2\}$

$\mathcal{P}(A \cup B) = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\}$

したがって、$\mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B) \neq \mathcal{P}(A \cup B)$ です。特に$\{1,2\}$が$\mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B)$に含まれていません。

(2) $\mathcal{P}(A) \cap \mathcal{P}(B) = \mathcal{P}(A \cap B)$ について

この命題は常に成り立ちます。証明します。

$(\subseteq)$ $\mathcal{P}(A) \cap \mathcal{P}(B) \subseteq \mathcal{P}(A \cap B)$ を示す。

$X \in \mathcal{P}(A) \cap \mathcal{P}(B)$ とすると、$X \in \mathcal{P}(A)$ かつ $X \in \mathcal{P}(B)$。

したがって、$X \subseteq A$ かつ $X \subseteq B$。

よって、$X \subseteq A \cap B$。

したがって、$X \in \mathcal{P}(A \cap B)$。

$(\supseteq)$ $\mathcal{P}(A \cap B) \subseteq \mathcal{P}(A) \cap \mathcal{P}(B)$ を示す。

$X \in \mathcal{P}(A \cap B)$ とすると、$X \subseteq A \cap B$。

したがって、$X \subseteq A$ かつ $X \subseteq B$。

よって、$X \in \mathcal{P}(A)$ かつ $X \in \mathcal{P}(B)$。

したがって、$X \in \mathcal{P}(A) \cap \mathcal{P}(B)$。

以上より、$\mathcal{P}(A) \cap \mathcal{P}(B) = \mathcal{P}(A \cap B)$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) $\mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B) = \mathcal{P}(A \cup B)$ は偽。反例：$A = \{1\}$、 $B = \{2\}$

(2) $\mathcal{P}(A) \cap \mathcal{P}(B) = \mathcal{P}(A \cap B)$ は真。証明は上記参照。