(7,4)ハミング符号Cに関する問題です。 (1) Cの16個の符号語（(0,1)ベクトル）をすべて書き出す。 (2) (1)で求めた16個の符号語のうち、1がちょうど3つ含まれているベクトルの集合B1と、1がちょうど4つ含まれているベクトルの集合B2について、それぞれどのような組合せ構造が対応するかを記述する。 (3) R(1,3)の符号語を書き出し、Cとの関係を述べる。（余裕のある人のみ）

はい、承知いたしました。与えられた問題を解きます。

1. 問題の内容

(7,4)ハミング符号Cに関する問題です。

(1) Cの16個の符号語（(0,1)ベクトル）をすべて書き出す。

(2) (1)で求めた16個の符号語のうち、1がちょうど3つ含まれているベクトルの集合B1と、1がちょうど4つ含まれているベクトルの集合B2について、それぞれどのような組合せ構造が対応するかを記述する。

(3) R(1,3)の符号語を書き出し、Cとの関係を述べる。（余裕のある人のみ）

2. 解き方の手順

(1) (7,4)ハミング符号Cの符号語をすべて書き出す。

4ビットのメッセージに対して、3ビットのパリティチェックビットが付加される。

4ビットのメッセージを $m_1, m_2, m_3, m_4$ とし、3ビットのパリティチェックビットを $p_1, p_2, p_3$ とする。

ハミング符号の生成行列Gを以下のように定義する。

$G = \begin{bmatrix}

1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\

0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\

0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1

\end{bmatrix}$

符号語 $c$ は、メッセージ $m = [m_1, m_2, m_3, m_4]$ に対して、$c = mG$ で計算される。

ここで、$m_i$ は0または1である。

可能なすべての4ビットのメッセージ(16通り)に対して符号語を計算する。

(2) (1)で求めた符号語の中で、ハミング重みが3の符号語の集合B1とハミング重みが4の符号語の集合B2を特定し、それぞれの集合の構造を記述する。

ハミング重みとは、符号語に含まれる1の数を指す。

(3) R(1,3)の符号語を書き出し、Cとの関係を述べる。

R(1,3)は繰り返し符号であり、入力ビットを3回繰り返して符号語を生成する。

例えば、入力が0の場合、符号語は000となり、入力が1の場合、符号語は111となる。

3. 最終的な答え

(1) Cの16個の符号語

以下に、(7,4)ハミング符号の16個の符号語を示します。これは、生成行列 $G$ を用いて、考えられるすべての4ビットメッセージで $mG$ を計算することで得られます。

0000000

1000011

0100101

1100110

0010110

1010101

0110011

1110000

0001111

1001100

0101010

1101001

0011001

1011010

0111100

1111111

(2) 集合 B1, B2の組合せ構造

B1: 1がちょうど3つ含まれるベクトル

B1 = {1000011, 0100101, 0010110, 0001111, 1100110, 1010101, 0110011, 1001100, 0101010, 0011001, 1101001, 1011010, 0111100 }

B1の要素数は13です。

B2: 1がちょうど4つ含まれるベクトル

B2 = {}

B2は空集合です。ハミング符号語の中で1がちょうど4つ含まれるものはありません。

(3) R(1,3) の符号語と C との関係

R(1,3) は単純な繰り返し符号であり、1ビットの情報を3回繰り返すことで符号語を生成します。

R(1,3) の符号語は 000 と 111 の2つのみです。

R(1,3) と C との関係:

R(1,3) の符号語 000 は、C の符号語 0000000 の特殊なケースです。また、R(1,3) の符号語 111 は、C の符号語 1111111 のハミング重みが小さいケースと考えることもできます。R(1,3) は C の非常に簡略化されたバージョンと見なすことができます。R(1,3) は誤り訂正能力が低いですが、C はより高度な誤り訂正能力を持っています。