(7,4)ハミング符号Cに関する問題です。 (1) Cの16個の符号語（(0,1)ベクトル）をすべて書き出します。 (2) (1)の16個の符号語のうち、1がちょうど3つ含まれているベクトルの集合B1と、1がちょうど4つ含まれているベクトルの集合B2について、どのような組合せ構造が対応しているかを説明します。 (3) R(1,3)の符号語を書き出し、Cとの関係を述べます。

1. 問題の内容

(7,4)ハミング符号Cに関する問題です。

(1) Cの16個の符号語（(0,1)ベクトル）をすべて書き出します。

(2) (1)の16個の符号語のうち、1がちょうど3つ含まれているベクトルの集合B1と、1がちょうど4つ含まれているベクトルの集合B2について、どのような組合せ構造が対応しているかを説明します。

(3) R(1,3)の符号語を書き出し、Cとの関係を述べます。

2. 解き方の手順

(1) (7,4)ハミング符号Cの符号語は、4ビットのメッセージをエンコードした7ビットの符号語です。ハミング符号の生成行列とパリティ検査行列を知る必要があります。ここでは一般的なハミング符号の生成行列を仮定します。

まず、4ビットのすべての組み合わせ（0000から1111まで）を列挙します。それぞれの組み合わせを生成行列Gに掛けて、7ビットの符号語を得ます。Gは問題文に与えられていないため、一般的なハミング符号のものを使用します。しかし、厳密には問題文にGが与えられていないため、正確な符号語を求めることはできません。ここでは一例を示すに留めます。

ここでは、パリティビットが偶数パリティになるように符号語を構成します。

(2) (1)で求めた16個の符号語の中から、1がちょうど3つ含まれている符号語の集合B1と、1がちょうど4つ含まれている符号語の集合B2を抽出します。それぞれの集合の要素数を数え、どのようなパターンが存在するかを分析します。集合B1とB2の要素数の組み合わせ論的な意味を考察します。例えば、7ビット中3つが1である組み合わせの数 $\binom{7}{3}$ 、7ビット中4つが1である組み合わせの数 $\binom{7}{4}$ と、B1, B2の要素数を比較します。

(3) R(1,3)は、長さ3で最小距離が1の符号を表します。すべての3ビットの符号語を列挙します。つまり000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111の8個の符号語です。これらの符号語と、(7,4)ハミング符号Cとの関係を調べます。例えば、Cの符号語の一部を切り出すことでR(1,3)の符号語が得られるかなどを考察します。もしくは、Cの符号語から作られる線形符号の部分空間がR(1,3)と同型かどうかなどを検討します。

3. 最終的な答え

(1) (7,4)ハミング符号Cの符号語の例（生成行列が与えられていないため一例）:

0000000, 0001011, 0010110, 0011101, 0100101, 0101110, 0110011, 0111000, 1000111, 1001100, 1010001, 1011010, 1100010, 1101001, 1110100, 1111111

(2)

B1 = {符号語のうち、1がちょうど3つ含まれているもの}

B2 = {符号語のうち、1がちょうど4つ含まれているもの}

問題文では生成行列が与えられていないため、具体的なB1, B2を決定することはできません。一般的に、ハミング符号の構成によってはB1, B2は空集合になることもあり得ます。

(3) R(1,3)の符号語:

000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111

R(1,3)は線形符号ではありません。Cとの関係は、Cの符号語の一部を切り出すことでR(1,3)の符号語が得られるかなどを考察する必要がある。具体的な生成行列が与えられていないため、R(1,3)とCの関係を具体的に述べることは難しい。