線形変換 $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ があり、その表現行列が $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 5 & 3 \end{pmatrix}$ である。ベクトル $a_1 = \begin{pmatrix} -11 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix}$, $a_2 = \begin{pmatrix} 27 \\ -15 \\ -2 \end{pmatrix}$, $a_3 = \begin{pmatrix} -14 \\ 8 \\ 1 \end{pmatrix}$ が与えられている。このとき、$f(a_1)$, $f(a_2)$, $f(a_3)$ によって張られる平行六面体の体積 $V$ を求める。

1. 問題の内容

線形変換 $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ があり、その表現行列が $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 5 & 3 \end{pmatrix}$ である。ベクトル $a_1 = \begin{pmatrix} -11 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix}$, $a_2 = \begin{pmatrix} 27 \\ -15 \\ -2 \end{pmatrix}$, $a_3 = \begin{pmatrix} -14 \\ 8 \\ 1 \end{pmatrix}$ が与えられている。このとき、$f(a_1)$, $f(a_2)$, $f(a_3)$ によって張られる平行六面体の体積 $V$ を求める。

2. 解き方の手順

平行六面体の体積は、3つのベクトルを並べた行列式の絶対値で計算できる。

$f(a_1) = Aa_1$, $f(a_2) = Aa_2$, $f(a_3) = Aa_3$ なので、これらのベクトルを並べた行列は $A[a_1, a_2, a_3]$ となる。この行列の行列式の絶対値が求める体積 $V$ である。

$V = | \det(A [a_1, a_2, a_3]) |$

行列式の性質より、

$\det(A [a_1, a_2, a_3]) = \det(A) \det([a_1, a_2, a_3])$

まず、$\det(A)$ を計算する。

$\det(A) = 1(3 \cdot 3 - 4 \cdot 5) - 1(2 \cdot 3 - 4 \cdot 3) + 6(2 \cdot 5 - 3 \cdot 3) = 1(9 - 20) - 1(6 - 12) + 6(10 - 9) = -11 + 6 + 6 = 1$

次に、$\det([a_1, a_2, a_3])$ を計算する。

$\det([a_1, a_2, a_3]) = \det \begin{pmatrix} -11 & 27 & -14 \\ 6 & -15 & 8 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix} = -11(-15 \cdot 1 - 8 \cdot (-2)) - 27(6 \cdot 1 - 8 \cdot 1) + (-14)(6 \cdot (-2) - (-15) \cdot 1) = -11(-15 + 16) - 27(6 - 8) - 14(-12 + 15) = -11(1) - 27(-2) - 14(3) = -11 + 54 - 42 = 1$

よって、

$V = | \det(A) \det([a_1, a_2, a_3]) | = |1 \cdot 1| = 1$

3. 最終的な答え

$V = 1$