A, B, C, D, E, F, G, H の 8 文字を無作為に横 1 列に並べるとき、以下の確率を求める。 (1) A と B が両端にある確率 (2) A が B より左で、B が C より左にある確率

1. 問題の内容

A, B, C, D, E, F, G, H の 8 文字を無作為に横 1 列に並べるとき、以下の確率を求める。

(1) A と B が両端にある確率

(2) A が B より左で、B が C より左にある確率

2. 解き方の手順

(1) A と B が両端にある確率

8 文字を並べる総数は $8! = 40320$ 通り。

A と B が両端にある場合、A が左端、B が右端の場合と、B が左端、A が右端の場合の 2 通り。

残りの 6 文字を並べる順列は $6! = 720$ 通り。

したがって、A と B が両端にある並べ方は $2 \times 6! = 2 \times 720 = 1440$ 通り。

求める確率は、

$\frac{2 \times 6!}{8!} = \frac{1440}{40320} = \frac{1}{28}$

(2) A が B より左で、B が C より左にある確率

A, B, C の位置関係が A, B, C の順になる確率を求める。

8 文字の並べ方は $8! = 40320$ 通り。

A, B, C の並び方は $3! = 6$ 通りある。

A, B, C の順に並ぶのは、このうちの 1 通りのみ。

A, B, C の位置を固定したときに、残りの 5 文字の並び方は $5!$ 通り。

A, B, C の位置の決め方は $_8P_3$ 通り。

条件を満たす並べ方は $\frac{8!}{3!} = \frac{40320}{6} = 6720$ 通り。

したがって、確率は $\frac{8!/3!}{8!} = \frac{1}{3!} = \frac{1}{6}$

3. 最終的な答え

(1) A と B が両端にある確率は $\frac{1}{28}$

(2) A が B より左で、B が C より左にある確率は $\frac{1}{6}$