問題は、$2^{100}$が何桁の整数であるかと、$30^{-20}$を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求めるものです。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$、$\log_{10} 3 = 0.4771$とします。

1. 問題の内容

問題は、$2^{100}$が何桁の整数であるかと、$30^{-20}$を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求めるものです。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$、$\log_{10} 3 = 0.4771$とします。

2. 解き方の手順

(1) $2^{100}$の桁数を求める。

$N = 2^{100}$とおくと、$\log_{10} N = \log_{10} 2^{100} = 100 \log_{10} 2$です。

与えられた$\log_{10} 2 = 0.3010$を代入すると、$\log_{10} N = 100 \times 0.3010 = 30.10$となります。

したがって、$N = 10^{30.10} = 10^{30} \times 10^{0.10}$です。$10^{0.10}$は1より大きいので、$2^{100}$は30+1 = 31桁の整数です。

(2) $30^{-20}$の小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求める。

$M = 30^{-20}$とおくと、$\log_{10} M = \log_{10} (30^{-20}) = -20 \log_{10} 30$です。

$\log_{10} 30 = \log_{10} (3 \times 10) = \log_{10} 3 + \log_{10} 10 = \log_{10} 3 + 1$です。

与えられた$\log_{10} 3 = 0.4771$を代入すると、$\log_{10} 30 = 0.4771 + 1 = 1.4771$となります。

したがって、$\log_{10} M = -20 \times 1.4771 = -29.542$です。

$\log_{10} M = -30 + (30 - 29.542) = -30 + 0.458$です。

$M = 10^{-30 + 0.458} = 10^{-30} \times 10^{0.458}$です。$10^{0.458}$は1より大きいので、$30^{-20}$は小数第30位に初めて0でない数字が現れます。

3. 最終的な答え

$2^{100}$は31桁の整数です。

$30^{-20}$を小数で表すと、小数第30位に初めて0でない数字が現れます。