与えられた二つの不等式を解く問題です。 一つ目の不等式は $\sqrt{3x-1} > 2x - 2$、二つ目の不等式は $|3x+2| < 2 - x$ です。

1. 問題の内容

与えられた二つの不等式を解く問題です。

一つ目の不等式は $\sqrt{3x-1} > 2x - 2$、二つ目の不等式は $|3x+2| < 2 - x$ です。

2. 解き方の手順

最初の不等式 $\sqrt{3x-1} > 2x - 2$ について:

まず、平方根の中身が非負である必要があるので、$3x - 1 \ge 0$ つまり $x \ge \frac{1}{3}$ です。

次に、$2x-2$ の符号で場合分けを行います。

場合1: $2x-2 < 0$ つまり $x < 1$ のとき。

このとき、$\sqrt{3x-1}$ は常に非負であり、$2x-2$ は負なので、不等式は常に成り立ちます。

したがって、$\frac{1}{3} \le x < 1$ が解となります。

場合2: $2x-2 \ge 0$ つまり $x \ge 1$ のとき。

このとき、不等式の両辺を2乗できます。

$(\sqrt{3x-1})^2 > (2x-2)^2$

$3x - 1 > 4x^2 - 8x + 4$

$0 > 4x^2 - 11x + 5$

$4x^2 - 11x + 5 < 0$

この2次不等式を解くために、$4x^2 - 11x + 5 = 0$ の解を求めます。

解の公式より

$x = \frac{11 \pm \sqrt{11^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5}}{2 \cdot 4} = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 80}}{8} = \frac{11 \pm \sqrt{41}}{8}$

したがって、$x = \frac{11-\sqrt{41}}{8} \approx 0.57$ および $x = \frac{11+\sqrt{41}}{8} \approx 2.18$ です。

$4x^2 - 11x + 5 < 0$ の解は $\frac{11-\sqrt{41}}{8} < x < \frac{11+\sqrt{41}}{8}$ となります。

この解と $x \ge 1$ の共通範囲を考えると、$1 \le x < \frac{11+\sqrt{41}}{8}$ となります。

したがって、最初の不等式の解は $\frac{1}{3} \le x < \frac{11+\sqrt{41}}{8}$ です。

次に、二つ目の不等式 $|3x+2| < 2 - x$ について:

$- (2-x) < 3x+2 < 2-x$

$-2+x < 3x+2$ かつ $3x+2 < 2-x$

$-4 < 2x$ かつ $4x < 0$

$-2 < x$ かつ $x < 0$

$-2 < x < 0$

二つの不等式の共通範囲を求めます。

$\frac{1}{3} \le x < \frac{11+\sqrt{41}}{8} \approx 2.18$ および $-2 < x < 0$ の共通範囲は存在しません。

3. 最終的な答え

解なし