$\sqrt{17 - 2\sqrt{10}}$ を計算して、できる限り簡単な形で表してください。

## 問題 (2)

1. 問題の内容

$\sqrt{17 - 2\sqrt{10}}$ を計算して、できる限り簡単な形で表してください。

2. 解き方の手順

二重根号を外します。

$\sqrt{a-b}$ の形の二重根号を外すには、$a = x+y$ かつ $b = 2\sqrt{xy}$ となる $x, y$ を見つけます。

すると、$\sqrt{a-b} = \sqrt{x} - \sqrt{y}$ (ただし、$x > y$) となります。

今回の場合は、$a = 17$ および $b = 2\sqrt{10}$ です。

したがって、$x+y = 17$ および $xy = 10$ を満たす $x, y$ を探します。

$x$と$y$は、$t^2 - 17t + 10 = 0$の解です。

これは、$x=10, y=1$もしくは、$x=1, y=10$を意味します。

$x+y = 10+7 = 17$を満たし、$xy= 10*7 = 70$とはならないので間違いです。

$x,y$を見つけるには、17を足して10を掛けて得られる数字を探す必要があります。

$x+y = 17$, $xy = 10$

$x=2$, $y=5$のときに、$x+y=7$, $xy = 10$は満たしません。

$2\sqrt{10} = 2\sqrt{5 \cdot 2}$より、$\sqrt{5}$と$\sqrt{2}$を用います。

$(\sqrt{5} - \sqrt{2})^2 = (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 5 - 2\sqrt{10} + 2 = 7 - 2\sqrt{10}$

$(\sqrt{10} - \sqrt{7})^2 = (\sqrt{10})^2 - 2\sqrt{10}\sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = 10 - 2\sqrt{70} + 7 = 17 - 2\sqrt{70}$

ここからわかることは、解法が違うということです。

$x+y = 17$, $xy = 10$となるxとyを探します。$17-2\sqrt{10} = x+y - 2\sqrt{xy}$

$x$と$y$が分かれば、$\sqrt{17-2\sqrt{10}} = \sqrt{x} - \sqrt{y}$となります。

17は、10+7と考えられます。また、$10 \times 7 = 70$となります。

$xy = 10$となる$x, y$を見つける必要があるので、

$\sqrt{17-2\sqrt{10}}=\sqrt{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}$

$\sqrt{17-2\sqrt{10}}=\sqrt{x}-\sqrt{y}$ となるためには、$17-2\sqrt{10} = (\sqrt{x}-\sqrt{y})^2= x+y-2\sqrt{xy}$となります。

そうすると、$x+y = 17$、$xy=10$となります。

x = 2とy = 5とすると、$17 \neq x+y = 7$なので違います。

x+y = 17かつ、$xy=10$の条件を見逃していました。

$17 = 10+7, 10 = 2*5$,この場合、二重根号にならない。

$\sqrt{17-2\sqrt{70}}$,これは問題として考えられない。

$17-2\sqrt{10}=(a-b)^2=a^2+b^2-2ab$

$a^2+b^2=17$

$ab = \sqrt{10}$

$a^2*b^2 = 10$

$(\sqrt{5}-\sqrt{2})^2 = 5+2-2\sqrt{10}=7-2\sqrt{10}$

そのため、$\sqrt{7-2\sqrt{10}}$

問題は、$\sqrt{17-2\sqrt{10}}$ではなく、$\sqrt{7-2\sqrt{10}}$だと仮定します。

$\sqrt{7-2\sqrt{10}}=\sqrt{5}-\sqrt{2}$

$\sqrt{17-2\sqrt{10}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$とすると、

$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a+b - 2\sqrt{ab} = 17 - 2\sqrt{10}$

$a+b = 17$

$ab = 10$

3. 最終的な答え

問題が$\sqrt{7 - 2\sqrt{10}}$の場合：

$\sqrt{5}-\sqrt{2}$

元の問題が$\sqrt{17 - 2\sqrt{10}}$の場合：

そのような簡単な整数解は存在しない.